Номер 5, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 5, страница 8.

5. Чему равно значение дроби (a+b)²-1a²+1 при:

а) a = –3, b = –1;

б) a = 112, b = 0,5?

$\frac{{(a+b)}^2-1}{a^2+1}$

а) при a=-3; b=-1
$\frac{{\left(-3+\left(-1\right)\right)}^2-1}{{\left(-3\right)}^2+1}=\frac{{\left(-4\right)}^2-1}{9+1}=\frac{16-1}{10}=\frac{15}{10}=1,5$

б) при $a=1\frac{1}{2};$ b=0,5
$$\begin{gathered} \frac{{\left(1{\displaystyle \frac{1}{2}}+0,5\right)}^2-1}{{\left(1{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+1}=\frac{2^2-1}{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+1}=\frac{4-1}{{\displaystyle \frac{9}{4}}+1}= \\ =\frac{3}{{\displaystyle \frac{13}{4}}}=3:\frac{13}{4}=3·\frac{4}{13}=\frac{12}{13} \end{gathered}$$

а) Подставим заданные значения $a = -3$ и $b = -1$ в выражение $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$:
$\frac{(-3 + (-1))^2 - 1}{(-3)^2 + 1} = \frac{(-4)^2 - 1}{9 + 1} = \frac{16 - 1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$.
Ответ: 1,5

б) Представим значения в виде десятичных дробей для удобства вычислений: $a = 1\frac{1}{2} = 1,5$, $b = 0,5$.
Подставим эти значения в выражение $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$:
$\frac{(1,5 + 0,5)^2 - 1}{(1,5)^2 + 1} = \frac{2^2 - 1}{2,25 + 1} = \frac{4 - 1}{3,25} = \frac{3}{3,25}$.
Чтобы упростить полученную дробь, избавимся от десятичного числа в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:
$\frac{3 \cdot 100}{3,25 \cdot 100} = \frac{300}{325}$.
Теперь сократим дробь. Наибольший общий делитель для 300 и 325 равен 25:
$\frac{300 \div 25}{325 \div 25} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\frac{12}{13}$