Страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Из рациональных выражений 7x² – 2xy, a9, 12b, а(а – b) – b3a, 14m² – 13n², aa+3- 8 выпишите те, которые являются:

а) целыми выражениями;

б) дробными выражениями.

a) $7x^2-2xy;$ $\frac{a}{9};$ $\frac{1}{4}{m}^2-\frac{1}{3}{n}^2$

б) $\frac{12}{b};$ $a(a-b)-\frac{b}{3a};$ $\frac{a}{a+3}-8$

Для решения этой задачи необходимо классифицировать данные рациональные выражения на целые и дробные.

Целые выражения — это алгебраические выражения, которые не содержат операции деления на переменную или на выражение с переменной. К ним относятся многочлены, а также выражения, где деление производится только на число (константу).

Дробные выражения — это алгебраические выражения, которые содержат операцию деления на переменную или на выражение с переменной.

Проанализируем каждое из предложенных выражений:

1. $7x^2 - 2xy$ — это многочлен, он не содержит деления на переменную. Значит, это целое выражение.

2. $\frac{a}{9}$ — это выражение содержит деление на число 9, а не на переменную. Его можно записать как $\frac{1}{9}a$. Это целое выражение.

3. $\frac{12}{b}$ — это выражение содержит деление на переменную $b$. Следовательно, это дробное выражение.

4. $a(a - b) - \frac{b}{3a}$ — это выражение содержит член $\frac{b}{3a}$, в котором есть деление на переменную $a$. Следовательно, это дробное выражение.

5. $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$ — в этом выражении деление происходит на константы 4 и 3, а не на переменные. Это целое выражение.

6. $\frac{a}{a+3} - 8$ — это выражение содержит деление на выражение $a+3$, которое включает в себя переменную $a$. Следовательно, это дробное выражение.

Теперь выпишем выражения в соответствии с заданием.

а) целыми выражениями;

К целым выражениям относятся те, которые не содержат деления на переменную. Из данного списка это: $7x^2 - 2xy$, $\frac{a}{9}$ и $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$.

Ответ: $7x^2 - 2xy$; $\frac{a}{9}$; $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$.

б) дробными выражениями.

К дробным выражениям относятся те, которые содержат деление на переменную или на выражение с переменной. Из данного списка это: $\frac{12}{b}$, $a(a-b) - \frac{b}{3a}$ и $\frac{a}{a+3} - 8$.

Ответ: $\frac{12}{b}$; $a(a - b) - \frac{b}{3a}$; $\frac{a}{a+3} - 8$.

3. Найдите значение дроби y-14 при y=3; 1; –5; 12; –1,6; 100.

$\frac{y-1}{4}$

Чтобы найти значение дроби $\frac{y-1}{4}$ при заданных значениях переменной, необходимо поочередно подставить каждое значение $y$ в это выражение и выполнить вычисления.

при y = 3

Подставляем $y=3$ в выражение:

$\frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

Ответ: 0,5

при y = 1

Подставляем $y=1$ в выражение:

$\frac{1-1}{4} = \frac{0}{4} = 0$

Ответ: 0

при y = -5

Подставляем $y=-5$ в выражение:

$\frac{-5-1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: -1,5

при y = $\frac{1}{2}$

Подставляем $y=\frac{1}{2}$ в выражение:

$\frac{\frac{1}{2}-1}{4} = \frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}{4} = \frac{-\frac{1}{2}}{4} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

при y = -1,6

Подставляем $y=-1,6$ в выражение:

$\frac{-1,6-1}{4} = \frac{-2,6}{4} = -0,65$

Ответ: -0,65

при y = 100

Подставляем $y=100$ в выражение:

$\frac{100-1}{4} = \frac{99}{4} = 24,75$

Ответ: 24,75

4. Найдите значение дроби:

а) a - 82a + 5 при a = –2;

б) b² + 62b при b = 3.

а) $\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{a-8}{2a+5}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\displaystyle \underset{a=-2}{ }}$}\right.=$
$=\frac{-2-8}{2·(-2)+5}=\frac{-10}{-4+5}=\frac{-10}{1}=10$

б) $\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{b^2+6}{26}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\displaystyle \underset{b=3}{ }}$}\right.=$
$=\frac{3^2+6}{2·3}=\frac{9+6}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2,5$

а) Чтобы найти значение дроби $\frac{a-8}{2a+5}$ при $a = -2$, подставим это значение в выражение.
Вычислим числитель: $a - 8 = -2 - 8 = -10$.
Вычислим знаменатель: $2a + 5 = 2 \cdot (-2) + 5 = -4 + 5 = 1$.
Теперь найдем значение дроби:
$\frac{-10}{1} = -10$.
Ответ: -10

б) Чтобы найти значение дроби $\frac{b^2+6}{2b}$ при $b = 3$, подставим это значение в выражение.
Вычислим числитель: $b^2 + 6 = 3^2 + 6 = 9 + 6 = 15$.
Вычислим знаменатель: $2b = 2 \cdot 3 = 6$.
Теперь найдем значение дроби:
$\frac{15}{6}$.
Сократим дробь на 3, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5

5. Чему равно значение дроби (a+b)²-1a²+1 при:

а) a = –3, b = –1;

б) a = 112, b = 0,5?

$\frac{{(a+b)}^2-1}{a^2+1}$

а) при a=-3; b=-1
$\frac{{\left(-3+\left(-1\right)\right)}^2-1}{{\left(-3\right)}^2+1}=\frac{{\left(-4\right)}^2-1}{9+1}=\frac{16-1}{10}=\frac{15}{10}=1,5$

б) при $a=1\frac{1}{2};$ b=0,5
$$\begin{gathered} \frac{{\left(1{\displaystyle \frac{1}{2}}+0,5\right)}^2-1}{{\left(1{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+1}=\frac{2^2-1}{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+1}=\frac{4-1}{{\displaystyle \frac{9}{4}}+1}= \\ =\frac{3}{{\displaystyle \frac{13}{4}}}=3:\frac{13}{4}=3·\frac{4}{13}=\frac{12}{13} \end{gathered}$$

а) Подставим заданные значения $a = -3$ и $b = -1$ в выражение $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$:
$\frac{(-3 + (-1))^2 - 1}{(-3)^2 + 1} = \frac{(-4)^2 - 1}{9 + 1} = \frac{16 - 1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$.
Ответ: 1,5

б) Представим значения в виде десятичных дробей для удобства вычислений: $a = 1\frac{1}{2} = 1,5$, $b = 0,5$.
Подставим эти значения в выражение $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$:
$\frac{(1,5 + 0,5)^2 - 1}{(1,5)^2 + 1} = \frac{2^2 - 1}{2,25 + 1} = \frac{4 - 1}{3,25} = \frac{3}{3,25}$.
Чтобы упростить полученную дробь, избавимся от десятичного числа в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:
$\frac{3 \cdot 100}{3,25 \cdot 100} = \frac{300}{325}$.
Теперь сократим дробь. Наибольший общий делитель для 300 и 325 равен 25:
$\frac{300 \div 25}{325 \div 25} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\frac{12}{13}$

6. Перечертите в тетрадь и заполните таблицу:

$\frac{x+5}{x-3}$

при x=-13; $\frac{-13+5}{-13-3}=\frac{-8}{-16}=\frac{1}{2}=0,5$

при x=-5; $\frac{-5+5}{-5-3}=\frac{0}{-8}=0$

при x=-0,2; $\frac{-0,2+5}{-0,2-3}=\frac{4,8}{-3,2}=-\frac{48}{32}=-\frac{3}{2}=1,5$

при x=0; $\frac{0+5}{0-3}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3}$

при $\mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{17}}\mathbf{;}$ $\frac{{\displaystyle \frac{1}{17}}+5}{{\displaystyle \frac{1}{17}}-3}=\frac{{\displaystyle \frac{1+85}{17}}}{{\displaystyle \frac{1-51}{17}}}=\frac{86}{-50}=-\frac{172}{100}=-1,72$

при x=1; $\frac{1+5}{1-3}=\frac{6}{-2}=-3$

при $\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{5}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{;}$ $\frac{5{\displaystyle \frac{2}{3}}+5}{5{\displaystyle \frac{2}{3}}-3}=\frac{{\displaystyle 10\frac{2}{3}}}{{\displaystyle 2\frac{2}{3}}}=\frac{32}{3}:\frac{8}{3}=\frac{32·3}{3·8}=4$

при x=7; $\frac{7+5}{7-3}=\frac{12}{4}=3$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения x из верхней строки вычислить значение выражения $\frac{x+5}{x-3}$ и записать результат в соответствующую ячейку нижней строки.

При x = -13
Подставляем значение $x = -13$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{-13+5}{-13-3} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2} = 0,5$
Ответ: 0,5

При x = -5
Подставляем значение $x = -5$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{-5+5}{-5-3} = \frac{0}{-8} = 0$
Ответ: 0

При x = -0,2
Подставляем значение $x = -0,2$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{-0,2+5}{-0,2-3} = \frac{4,8}{-3,2} = -\frac{48}{32} = -\frac{3}{2} = -1,5$
Ответ: -1,5

При x = 0
Подставляем значение $x = 0$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{0+5}{0-3} = \frac{5}{-3} = -1\frac{2}{3}$
Ответ: $-1\frac{2}{3}$

При x = $\frac{1}{17}$
Подставляем значение $x = \frac{1}{17}$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{\frac{1}{17}+5}{\frac{1}{17}-3} = \frac{\frac{1}{17}+\frac{85}{17}}{\frac{1}{17}-\frac{51}{17}} = \frac{\frac{86}{17}}{-\frac{50}{17}} = \frac{86}{17} \cdot (-\frac{17}{50}) = -\frac{86}{50} = -\frac{43}{25} = -1,72$
Ответ: -1,72

При x = 1
Подставляем значение $x = 1$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{1+5}{1-3} = \frac{6}{-2} = -3$
Ответ: -3

При x = $5\frac{2}{3}$
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$.
Подставляем значение $x = \frac{17}{3}$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{\frac{17}{3}+5}{\frac{17}{3}-3} = \frac{\frac{17}{3}+\frac{15}{3}}{\frac{17}{3}-\frac{9}{3}} = \frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{32}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{32}{8} = 4$
Ответ: 4

При x = 7
Подставляем значение $x = 7$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{7+5}{7-3} = \frac{12}{4} = 3$
Ответ: 3

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

7. а) Из формулы v =st выразите: переменную s через v и t; переменную t через s и ν.

б) Из формулы ρ =mV выразите переменную V через ρ и m.

а) $v=\frac{s}{t};$ s=vt; $t=\frac{s}{v}$

б) $p=\frac{m}{v};$ $v=\frac{m}{p}$

а) Исходная формула: $v = \frac{s}{t}$.

Чтобы выразить переменную $s$ через $v$ и $t$, необходимо умножить обе части уравнения на $t$. Это позволит избавиться от знаменателя в правой части.

$v \cdot t = \frac{s}{t} \cdot t$

После сокращения $t$ в правой части получаем итоговое выражение для $s$:

$s = v \cdot t$

Чтобы выразить переменную $t$ через $s$ и $v$, можно использовать полученное выше равенство $s = v \cdot t$. Разделим обе части этого равенства на $v$, чтобы изолировать $t$:

$\frac{s}{v} = \frac{v \cdot t}{v}$

После сокращения $v$ в правой части получаем выражение для $t$:

$t = \frac{s}{v}$

Ответ: $s = v \cdot t$; $t = \frac{s}{v}$

б) Исходная формула: $\rho = \frac{m}{V}$.

Чтобы выразить переменную $V$ через $\rho$ и $m$, сначала необходимо переместить $V$ из знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на $V$:

$\rho \cdot V = \frac{m}{V} \cdot V$

После сокращения $V$ в правой части получаем:

$\rho \cdot V = m$

Теперь, чтобы изолировать $V$, разделим обе части полученного уравнения на $\rho$:

$\frac{\rho \cdot V}{\rho} = \frac{m}{\rho}$

После сокращения $\rho$ в левой части получаем итоговую формулу для $V$:

$V = \frac{m}{\rho}$

Ответ: $V = \frac{m}{\rho}$

8. Из городов А и В, расстояние между которыми s км, вышли в одно и то же время навстречу друг другу два поезда. Первый шёл со скоростью v₁ км/ч, а второй — со скоростью v₂ км/ч. Через t ч они встретились. Выразите переменную t через s, v₁ и v₂. Найдите значение t, если известно, что:

а) s = 250, v₁ = 60, v₂ = 40;

б) s = 310, v₁ = 75, v₂ = 80.

$s=\left(v_1+v_2\right)·t;$ $t=\frac{s}{v_1+v_2}$

а) s=250, $v_1=60,$ $v_2=40$
$t=\frac{250}{60+40}=\frac{250}{100}=2,5\left(\text{ч}\right)$

б) s=310, $v_1=75,$ $v_2=80$
$t=\frac{310}{75+80}=\frac{310}{155}=2\left(\text{ч}\right)$

Для решения задачи сначала выразим время $t$ через расстояние $s$ и скорости $v_1$ и $v_2$.

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей. Скорость сближения поездов составляет:$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Время, через которое они встретятся, можно найти, разделив общее расстояние на скорость сближения. Таким образом, формула для нахождения времени $t$ выглядит следующим образом:$t = \frac{s}{v_1 + v_2}$

Теперь, используя эту формулу, найдем значения $t$ для каждого случая.

а) Подставим заданные значения $s = 250$ км, $v_1 = 60$ км/ч, $v_2 = 40$ км/ч в формулу:$t = \frac{250}{60 + 40} = \frac{250}{100} = 2.5$ ч.
Ответ: $2.5$ ч.

б) Подставим заданные значения $s = 310$ км, $v_1 = 75$ км/ч, $v_2 = 80$ км/ч в формулу:$t = \frac{310}{75 + 80} = \frac{310}{155} = 2$ ч.
Ответ: $2$ ч.

9. а) Составьте дробь, числитель которой — произведение переменных x и y, а знаменатель — их сумма.

б) Составьте дробь, числитель которой — разность переменных a и b, а знаменатель — их произведение.

в) Составьте дробь, числитель которой — сумма переменных c и d, а знаменатель — их разность.

$\mathbf{\text{а}}\mathbf{)}\frac{xy}{x+y};$ $\mathbf{\text{б}}\mathbf{)}\frac{a-b}{ab};$ $\mathbf{\text{в}}\mathbf{)}\frac{c+d}{c-d};$

а) Для составления дроби необходимо определить ее числитель и знаменатель. Согласно условию, числитель дроби является произведением переменных $x$ и $y$. В математической форме это записывается как $x \cdot y$ или просто $xy$. Знаменатель дроби является суммой этих же переменных. Сумма записывается как $x + y$. Таким образом, искомая дробь представляет собой отношение произведения к сумме.
Ответ: $\frac{xy}{x+y}$

б) В данном случае числитель дроби — это разность переменных $a$ и $b$. Разность записывается в виде выражения $a - b$. Знаменатель дроби — это произведение этих переменных, которое записывается как $ab$. Составляем дробь, помещая разность в числитель, а произведение в знаменатель.
Ответ: $\frac{a-b}{ab}$

в) По условию, числителем дроби является сумма переменных $c$ и $d$. Это записывается как $c + d$. Знаменателем является их разность, что записывается как $c - d$. Следовательно, дробь будет иметь вид отношения суммы к разности.
Ответ: $\frac{c+d}{c-d}$

10. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение:

а) xx-2;

б)b+4b²+7;

в) y²-1y+yy-3;

г)a+10a(a-1) - 1?

а) $\frac{x}{x-2};$ $x-2\ne 0;$ $x\ne 2$
Ответ: при любых х, кроме 2

б) $\frac{b+4}{b^2+7}$
Ответ: при любых b

в) $\frac{y^2-1}{y}+\frac{y}{y-3}$
$\left\{\begin{array}{c}y\ne 0\\ y-3\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}y\ne 0\\ y\ne 3\end{array}\right.$

Ответ: все числа, кроме 0 и 3

г) $\frac{a+10}{a(a-1)}-1$
$\left\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ a-1\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ a\ne 1\end{array}\right.$

Ответ: при любых a, кроме 0 и 1

Рациональное выражение имеет смысл, или определено, тогда и только тогда, когда его знаменатель не равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Чтобы найти значения переменной, при которых выражение имеет смысл, нужно найти значения, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их из множества всех действительных чисел.

а) $\frac{x}{x-2}$

Данное выражение представляет собой дробь, знаменатель которой равен $x-2$.

Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

При $x=2$ знаменатель равен нулю, и выражение не имеет смысла. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях переменной $x$, кроме 2.

Ответ: $x \neq 2$.

б) $\frac{b+4}{b^2+7}$

Знаменатель данной дроби равен $b^2+7$.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения:

$b^2 + 7 = 0$

$b^2 = -7$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $b^2 \ge 0$. Поэтому уравнение $b^2 = -7$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $b^2+7$ никогда не равен нулю (его наименьшее значение равно 7 при $b=0$).

Следовательно, выражение имеет смысл при любом значении переменной $b$.

Ответ: любое число.

в) $\frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3}$

Это выражение является суммой двух рациональных дробей. Оно будет иметь смысл только в том случае, если знаменатель каждой из дробей не равен нулю.

1. Знаменатель первой дроби: $y$. Он не должен быть равен нулю. $y \neq 0$.

2. Знаменатель второй дроби: $y-3$. Он не должен быть равен нулю.

$y - 3 \neq 0$

$y \neq 3$

Объединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при всех значениях $y$, кроме $0$ и $3$.

Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq 3$.

г) $\frac{a+10}{a(a-1)} - 1$

Выражение состоит из дроби и целой части ($-1$), которая определена для любого значения переменной. Таким образом, нужно найти только те значения $a$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Знаменатель дроби равен $a(a-1)$.

Приравняем знаменатель к нулю:

$a(a-1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$a = 0$ или $a - 1 = 0$

$a = 0$ или $a = 1$

При $a=0$ и $a=1$ знаменатель обращается в ноль, и выражение не имеет смысла. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $0$ и $1$.

Ответ: $a \neq 0$ и $a \neq 1$.