Страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Найдите значение дроби:

a) 15a² - 10ab3ab - 2b² при a = –2, b = –0,1;

б) 9c² - 4d²18c²d - 12cd² при c =23, d =12;

в) 6x² + 12xy5xy + 10y² при x =23, y = –0,4;

г) x²+6xy+9y²4x²+12xy при x = –0,2, y = –0,6.

a) $\frac{15a^2-10ab}{3ab-2b^2}=\frac{5a\left(3a-2b\right)}{b\left(3a-2b\right)}=\frac{5a}{b}$

при a=-2; b=-0,1; $\frac{5·\left(-2\right)}{-0,1}=\frac{-10}{-0,1}=100$

б) $\frac{9c^2-4d^2}{18c^{2}d-12c{d}^2}=\frac{\left(3c-2d\right)\left(3c+2d\right)}{6cd\left(3c-2d\right)}=\frac{3c+2d}{6cd}$

при $\mathit{c}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{;}\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

$\frac{3·{\displaystyle \frac{2}{3}}+2·{\displaystyle \frac{1}{2}}}{6·{\displaystyle \frac{2}{3}}·{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=1,5$

в) $\frac{6x^2+12xy}{5xy+10y^2}=\frac{6x\left(x+2y\right)}{5y\left(x+2y\right)}=\frac{6x}{5y}$

при $\mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{;}$ y=-0,4;

$\frac{6·{\displaystyle \frac{2}{3}}}{5·\left(-0,4\right)}=\frac{4}{-2}=-2$

г) $\frac{x^2+6xy+9y^2}{4x^2+12xy}=\frac{{\left(x+3y\right)}^2}{4x\left(x+3y\right)}=\frac{x+3y}{4x}$

при x=-0,2; y=-0,6;

$$\begin{gathered} \frac{-0,2+3·\left(-0,6\right)}{4·\left(-0,2\right)}=\frac{-0,2-1,8}{-0,8}=\frac{-2}{-0,8}= \\ =\frac{20}{8}=\frac{5}{2}=2,5 \end{gathered}$$

а)

Дана дробь $\frac{15a^2-10ab}{3ab-2b^2}$ при $a = -2, b = -0,1$.

Сначала упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $5a$:
$15a^2-10ab = 5a(3a-2b)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b$:
$3ab-2b^2 = b(3a-2b)$.

Теперь дробь выглядит так:
$\frac{5a(3a-2b)}{b(3a-2b)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3a-2b)$, при условии, что он не равен нулю. Проверим: $3(-2) - 2(-0,1) = -6 + 0,2 = -5,8 \neq 0$.
После сокращения получаем:
$\frac{5a}{b}$.

Подставим значения $a = -2$ и $b = -0,1$ в упрощенное выражение:
$\frac{5 \cdot (-2)}{-0,1} = \frac{-10}{-0,1} = 100$.

Ответ: $100$.

б)

Дана дробь $\frac{9c^2-4d^2}{18c^2d-12cd^2}$ при $c = \frac{2}{3}, d = \frac{1}{2}$.

Упростим выражение. Числитель представляет собой разность квадратов:
$9c^2-4d^2 = (3c)^2 - (2d)^2 = (3c-2d)(3c+2d)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $6cd$:
$18c^2d-12cd^2 = 6cd(3c-2d)$.

Получаем дробь:
$\frac{(3c-2d)(3c+2d)}{6cd(3c-2d)}$.

Сократим на общий множитель $(3c-2d)$, убедившись, что он не равен нулю. Проверим: $3(\frac{2}{3}) - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1 \neq 0$.
Упрощенное выражение:
$\frac{3c+2d}{6cd}$.

Подставим значения $c = \frac{2}{3}$ и $d = \frac{1}{2}$:
$\frac{3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2}}{6 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

в)

Дана дробь $\frac{6x^2+12xy}{5xy+10y^2}$ при $x = \frac{2}{3}, y = -0,4$.

Упростим дробь, вынеся общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе общий множитель $6x$:
$6x^2+12xy = 6x(x+2y)$.

В знаменателе общий множитель $5y$:
$5xy+10y^2 = 5y(x+2y)$.

Дробь принимает вид:
$\frac{6x(x+2y)}{5y(x+2y)}$.

Сократим на $(x+2y)$, предварительно проверив, что он не равен нулю. Преобразуем $y = -0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.
$x+2y = \frac{2}{3} + 2(-\frac{2}{5}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{10-12}{15} = -\frac{2}{15} \neq 0$.
После сокращения получаем:
$\frac{6x}{5y}$.

Подставим значения $x = \frac{2}{3}$ и $y = -0,4$:
$\frac{6 \cdot \frac{2}{3}}{5 \cdot (-0,4)} = \frac{4}{-2} = -2$.

Ответ: $-2$.

г)

Дана дробь $\frac{x^2+6xy+9y^2}{4x^2+12xy}$ при $x = -0,2, y = -0,6$.

Упростим выражение. Числитель является полным квадратом суммы:
$x^2+6xy+9y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x+3y)^2$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $4x$:
$4x^2+12xy = 4x(x+3y)$.

Дробь принимает вид:
$\frac{(x+3y)^2}{4x(x+3y)}$.

Сократим на общий множитель $(x+3y)$, проверив, что он не равен нулю:
$x+3y = -0,2 + 3(-0,6) = -0,2 - 1,8 = -2 \neq 0$.
После сокращения получаем:
$\frac{x+3y}{4x}$.

Подставим значения $x = -0,2$ и $y = -0,6$:
$\frac{-0,2+3(-0,6)}{4(-0,2)} = \frac{-0,2-1,8}{-0,8} = \frac{-2}{-0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: $2,5$.

35. Сократите дробь:

a) x²-4x+4x²-2x;

б) 3y²+24yy²+16y+64;

в) a²+a+1a³-1;

г) b+2b³+8.

a) $\frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=\frac{{\left(x-2\right)}^2}{x\left(x-2\right)}=\frac{x-2}{x};$

б) $\frac{3y^2+24y}{y^2+16y+64}=\frac{3y\left(y+8\right)}{{\left(y+8\right)}^2}=\frac{3y}{y+8};$

в) $\frac{a^2+a+1}{a^3-1}=\frac{a^2+a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{1}{a-1};$

г) $\frac{b+2}{b^3+8}=\frac{b+2}{\left(b+2\right)\left(b^2-2b+4\right)}=\frac{1}{b^2-2b+4}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.

В знаменателе $x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 - 2x = x(x-2)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x} = \frac{(x-2)^2}{x(x-2)}$.

Сократим общий множитель $(x-2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 2$ и $x \neq 0$):

$\frac{(x-2)^{\cancel{2}}}{x\cancel{(x-2)}} = \frac{x-2}{x}$.

Ответ: $\frac{x-2}{x}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе $3y^2 + 24y$ вынесем общий множитель $3y$ за скобки:

$3y^2 + 24y = 3y(y + 8)$.

Знаменатель $y^2 + 16y + 64$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$y^2 + 16y + 64 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 8 + 8^2 = (y+8)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64} = \frac{3y(y+8)}{(y+8)^2}$.

Сократим общий множитель $(y+8)$ (при условии, что $y \neq -8$):

$\frac{3y\cancel{(y+8)}}{(y+8)^{\cancel{2}}} = \frac{3y}{y+8}$.

Ответ: $\frac{3y}{y+8}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}$. Разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $a^3 - 1$ представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:

$a^3 - 1 = a^3 - 1^3 = (a-1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a-1)(a^2 + a + 1)$.

Числитель $a^2 + a + 1$ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1} = \frac{a^2 + a + 1}{(a-1)(a^2 + a + 1)}$.

Сократим общий множитель $(a^2 + a + 1)$ (который не равен нулю ни при каких действительных $a$, а также при $a \neq 1$):

$\frac{\cancel{a^2 + a + 1}}{(a-1)\cancel{(a^2 + a + 1)}} = \frac{1}{a-1}$.

Ответ: $\frac{1}{a-1}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{b+2}{b^3+8}$. Разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $b^3 + 8$ представляет собой сумму кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$b^3 + 8 = b^3 + 2^3 = (b+2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = (b+2)(b^2 - 2b + 4)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{b+2}{b^3+8} = \frac{b+2}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)}$.

Сократим общий множитель $(b+2)$ (при условии, что $b \neq -2$):

$\frac{\cancel{b+2}}{\cancel{(b+2)}(b^2 - 2b + 4)} = \frac{1}{b^2 - 2b + 4}$.

Ответ: $\frac{1}{b^2 - 2b + 4}$.

36. Представьте частное в виде дроби и сократите её:

a) (9x² – y²) : (3x + y);

б) (2ab – a) : (4b² – 4b + 1);

в) (x² + 2x + 4) : (x³ – 8);

г) (1 + a³) : (1 + a).

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(9x^2-y^2\right):\left(3x+y\right)=\frac{9x^2-y^2}{3x+y}= \\ =\frac{\left(3x-y\right)(3x+y)}{3x+y}=3x-y; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(2ab-a):(4b^2*4b+1)=\frac{2ab-a}{4b^2-4b+1}= \\ =\frac{a(2b-1)}{{(2b-1)}^2}=\frac{a}{2b-1}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}(x^2+2x+4):(x^3-8)=\frac{x^2+2x+4}{x^3-8}= \\ =\frac{x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{1}{x-2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}(1+a^3):(1+a)=\frac{1+a^3}{1+a}=\frac{(1+a)(1-a+a^2)}{1+a}= \\ =1-a+a^2 \end{gathered}$$

а) Представим частное в виде дроби и сократим её. Для этого разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

$(9x^2 - y^2) : (3x + y) = \frac{9x^2 - y^2}{3x + y}$

Числитель $9x^2 - y^2$ можно представить как $(3x)^2 - y^2$. Применяем формулу:

$(3x)^2 - y^2 = (3x-y)(3x+y)$

Теперь подставим разложенное выражение в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(3x-y)(3x+y)}{3x+y} = 3x-y$

Ответ: $3x-y$.

б) Представим частное в виде дроби. Разложим числитель и знаменатель на множители.

$(2ab - a) : (4b^2 - 4b + 1) = \frac{2ab - a}{4b^2 - 4b + 1}$

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$2ab - a = a(2b-1)$

Знаменатель $4b^2 - 4b + 1$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$:

$4b^2 - 4b + 1 = (2b)^2 - 2 \cdot 2b \cdot 1 + 1^2 = (2b-1)^2$

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{a(2b-1)}{(2b-1)^2} = \frac{a}{2b-1}$

Ответ: $\frac{a}{2b-1}$.

в) Представим частное в виде дроби. Для сокращения разложим знаменатель на множители, используя формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.

$(x^2 + 2x + 4) : (x^3 - 8) = \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8}$

Знаменатель $x^3 - 8$ можно представить как $x^3 - 2^3$. Применяем формулу:

$x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

Подставим разложенное выражение в дробь и сократим:

$\frac{x^2 + 2x + 4}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{1}{x-2}$

Ответ: $\frac{1}{x-2}$.

г) Представим частное в виде дроби. Разложим числитель на множители, используя формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

$(1 + a^3) : (1 + a) = \frac{1 + a^3}{1 + a}$

Числитель $1 + a^3$ можно представить как $1^3 + a^3$. Применяем формулу:

$1^3 + a^3 = (1+a)(1^2 - 1 \cdot a + a^2) = (1+a)(1-a+a^2)$

Подставим разложенное выражение в дробь и сократим:

$\frac{(1+a)(1-a+a^2)}{1+a} = 1-a+a^2$

Ответ: $1-a+a^2$.

37. Сократите дробь:

a) 2x + bx - 2y-by7x - 7y;

б) 8a + 4b2ab + b² - 2ad - bd;

в) xy - x + y - y²x² - y²;

г) a² + 2ac + c²a² + ac - ax - cx.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2x+bx-2y-by}{7x-7y}=\frac{(2x-2y)+(bx-by)}{7(x-y)}= \\ =\frac{2(x-y)+b(x-y)}{7(x-y)}=\frac{(x-y)(2+b)}{7(x-y)}=\frac{2+b}{7}; \end{gathered}$$

б) $\frac{8a+4b}{2ab+b^2-2ad-bd}=\frac{4(2a+b)}{(2ab-2ad)+(b^2-bd)}=$
$=\frac{4(2a+b)}{2a(b-d)+b(b-d)}=\frac{4(2a+b)}{(b-d)(2a+b)}=\frac{4}{b-d};$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{xy-x+y-y^2}{x^2-y^2}=\frac{(xy-x)(y-y^2)}{(x-y)(x+y)}= \\ =\frac{x(y-1)+y(1-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{x(y-1)-y(y-1)}{(x-y)(x+y)}= \\ =\frac{(y-1)(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{y-1}{x+y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a^2+2ac+c^2}{a^2+ac-ax-cx}=\frac{{(a+c)}^2}{(a^2+ac)-(ax+cx)}= \\ =\frac{{(a+c)}^2}{a(a+c)-x(a+c)}=\frac{{(a+c)}^2}{(a+c)(a-x)}=\frac{a+c}{a-x} \end{gathered}$$

а)

Для того чтобы сократить дробь $\frac{2x + bx - 2y - by}{7x - 7y}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $2x + bx - 2y - by$ методом группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители:

$(2x + bx) - (2y + by)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x(2 + b) - y(2 + b)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2 + b)$:

$(x - y)(2 + b)$

2. Разложим на множители знаменатель $7x - 7y$. Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7(x - y)$

3. Подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(x - y)$:

$\frac{(x - y)(2 + b)}{7(x - y)} = \frac{2 + b}{7}$

Ответ: $\frac{2 + b}{7}$

б)

Сократим дробь $\frac{8a + 4b}{2ab + b^2 - 2ad - bd}$.

1. В числителе $8a + 4b$ вынесем за скобки общий множитель 4:

$4(2a + b)$

2. В знаменателе $2ab + b^2 - 2ad - bd$ применим метод группировки:

$(2ab + b^2) - (2ad + bd)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$b(2a + b) - d(2a + b)$

Вынесем общий множитель $(2a + b)$:

$(b - d)(2a + b)$

3. Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем и сократим общий множитель $(2a + b)$:

$\frac{4(2a + b)}{(b - d)(2a + b)} = \frac{4}{b - d}$

Ответ: $\frac{4}{b - d}$

в)

Сократим дробь $\frac{xy - x + y - y^2}{x^2 - y^2}$.

1. Разложим на множители числитель $xy - x + y - y^2$ методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(xy - x) + (y - y^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(y - 1) + y(1 - y) = x(y - 1) - y(y - 1)$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$:

$(x - y)(y - 1)$

2. Знаменатель $x^2 - y^2$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на $(x - y)$:

$\frac{(x - y)(y - 1)}{(x - y)(x + y)} = \frac{y - 1}{x + y}$

Ответ: $\frac{y - 1}{x + y}$

г)

Сократим дробь $\frac{a^2 + 2ac + c^2}{a^2 + ac - ax - cx}$.

1. Числитель $a^2 + 2ac + c^2$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$a^2 + 2ac + c^2 = (a + c)^2$

2. Знаменатель $a^2 + ac - ax - cx$ разложим на множители методом группировки:

$(a^2 + ac) - (ax + cx)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a + c) - x(a + c)$

Вынесем общий множитель $(a + c)$:

$(a - x)(a + c)$

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(a + c)$:

$\frac{(a + c)^2}{(a - x)(a + c)} = \frac{a + c}{a - x}$

Ответ: $\frac{a + c}{a - x}$

38. (Для работы в парах.) Постройте график функции:

a) y =x² - 252x+10;

б) y =x³ - 9xx² - 9;

1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков?

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки.

a) $y=\frac{x^2-25}{2x+10};$ $y=\frac{(x-5)(x+5)}{2(x+5)};$

$y=\frac{x-5}{2};$ $y=\frac{x}{2}-\frac{5}{2} \text{-линейная функция}$
при условии, что $$\begin{gathered} 2x+10\ne 0; \\ 2x\ne -10; \\ x\ne -5 \end{gathered}$$

Область определения линейной функции $y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$- все числа, кроме x=-5

б) $y=\frac{x^3-9x}{x^2-9};$ $y=\frac{x(x^2-9)}{x^2-9};$ $y=x$ - прямая пропорциональность при условии, что $$\begin{gathered} x^2-9\ne 0; \\ x-3\ne 0 \\ x\ne 3 \end{gathered}$$ или $$\begin{gathered} (x-3)(x+3)\ne 0 \\ x+3\ne 0 \\ x\ne -3 \end{gathered}$$

Область определения функции y=x - все числа, кроме x=3 и x=-3

а)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$2x + 10 \neq 0$
$2x \neq -10$
$x \neq -5$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
В знаменателе вынесем общий множитель за скобки: $2x + 10 = 2(x + 5)$.
Получаем: $y = \frac{(x - 5)(x + 5)}{2(x + 5)}$.

3. При условии, что $x \neq -5$ (согласно ОДЗ), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+5)$:
$y = \frac{x - 5}{2}$ или $y = 0.5x - 2.5$.

4. Полученная функция $y = 0.5x - 2.5$ является линейной. Ее график — это прямая линия. Однако исходная функция не определена в точке $x = -5$. Это означает, что на графике будет "выколотая" точка (точка разрыва). Найдем ее координаты, подставив значение $x = -5$ в упрощенное выражение для функции:
$y(-5) = 0.5 \cdot (-5) - 2.5 = -2.5 - 2.5 = -5$.
Следовательно, точка с координатами $(-5; -5)$ не принадлежит графику.

5. Для построения графика прямой $y = 0.5x - 2.5$ найдем координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой:
- при $x = 0$, $y = 0.5 \cdot 0 - 2.5 = -2.5$. Точка $(0; -2.5)$.
- при $y = 0$, $0 = 0.5x - 2.5 \implies 0.5x=2.5 \implies x = 5$. Точка $(5; 0)$.

Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; -2.5)$ и $(5; 0)$, с выколотой точкой $(-5; -5)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$ является прямая $y = 0.5x - 2.5$ с выколотой точкой $(-5; -5)$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0$
$(x - 3)(x + 3) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)$.
Знаменатель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Получаем: $y = \frac{x(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}$.

3. При условии, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на общие множители $(x - 3)$ и $(x + 3)$:
$y = x$.

4. Полученная функция $y = x$ является линейной. Ее график — прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Исходная функция не определена в точках $x = 3$ и $x = -3$. Значит, на графике будут две выколотые точки. Найдем их координаты, подставив соответствующие значения $x$ в упрощенную функцию $y=x$:
- при $x = 3$, $y = 3$. Координаты первой выколотой точки: $(3; 3)$.
- при $x = -3$, $y = -3$. Координаты второй выколотой точки: $(-3; -3)$.

5. Графиком функции является прямая $y=x$ с выколотыми точками $(3; 3)$ и $(-3; -3)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$ является прямая $y = x$ с выколотыми точками $(3; 3)$ и $(-3; -3)$.

1)

Общей особенностью дробей, задающих функции в заданиях а) и б), является то, что они являются сократимыми. Это означает, что после разложения числителя и знаменателя на множители у них обнаруживаются общие множители, на которые можно сократить дробь.

Эту особенность при построении графиков необходимо учитывать следующим образом:
1. В первую очередь необходимо найти область определения исходной функции (ОДЗ), то есть исключить те значения аргумента $x$, при которых знаменатель дроби обращается в ноль.
2. Далее следует выполнить упрощение (сокращение) дроби. В результате получается более простая функция, график которой легко построить (в данных примерах — линейная).
3. График исходной функции будет совпадать с графиком упрощенной функции во всех точках, кроме тех, которые были исключены из области определения.
4. В этих исключенных точках на графике образуются "дыры", которые называют "выколотыми точками" или точками устранимого разрыва. Чтобы найти координаты этих точек, нужно подставить исключенные значения $x$ в выражение для упрощенной функции.

Таким образом, наличие общих множителей у числителя и знаменателя приводит к тому, что график функции имеет точки разрыва, которые изображаются в виде пустых кружочков на сплошной линии графика упрощенной функции.

Ответ: Общая особенность дробей — они сократимы, так как числитель и знаменатель имеют общие множители. При построении графика это приводит к появлению на нем выколотых точек (точек устранимого разрыва), координаты которых находятся подстановкой запрещенных значений аргумента в упрощенное выражение функции.

2) и 3)

Данные пункты являются организационными указаниями для выполнения задания в парах. Они предполагают, что один учащийся выполняет задание а), второй — задание б), после чего они обмениваются работами для взаимной проверки и исправления ошибок. Подробные решения для обоих заданий, которые можно использовать для выполнения и проверки, представлены выше.