Страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

50. Представьте выражение 2a + b в виде дроби со знаменателем, равным:

а) b;

б) 5;

в) 3a;

г) 2a – b.

a) $2a+b=\frac{(2a+b)b}{b}=\frac{2ab+b^2}{b};$

б) $2a+b=\frac{(2a+b)·5}{5}=\frac{10a+5b}{5};$

в) $2a+b=\frac{(2a+b)·3a}{3a}=\frac{6a^2+3ab}{3a};$

г) $2a+b=\frac{(2a+b)(2a-b)}{2a-b}=\frac{4a^2-b^2}{2a-b}$

Чтобы представить выражение в виде дроби с заданным знаменателем, необходимо умножить и разделить это выражение на требуемый знаменатель. Исходное выражение: $2a + b$.

а) Представим выражение в виде дроби со знаменателем $b$.

Для этого умножим и разделим $2a + b$ на $b$:

$2a + b = \frac{(2a + b) \cdot b}{b}$

Теперь раскроем скобки в числителе:

$(2a + b) \cdot b = 2a \cdot b + b \cdot b = 2ab + b^2$

В результате получаем дробь:

Ответ: $\frac{2ab + b^2}{b}$

б) Представим выражение в виде дроби со знаменателем $5$.

Для этого умножим и разделим $2a + b$ на $5$:

$2a + b = \frac{(2a + b) \cdot 5}{5}$

Раскроем скобки в числителе:

$(2a + b) \cdot 5 = 2a \cdot 5 + b \cdot 5 = 10a + 5b$

В результате получаем дробь:

Ответ: $\frac{10a + 5b}{5}$

в) Представим выражение в виде дроби со знаменателем $3a$.

Для этого умножим и разделим $2a + b$ на $3a$:

$2a + b = \frac{(2a + b) \cdot 3a}{3a}$

Раскроем скобки в числителе:

$(2a + b) \cdot 3a = 2a \cdot 3a + b \cdot 3a = 6a^2 + 3ab$

В результате получаем дробь:

Ответ: $\frac{6a^2 + 3ab}{3a}$

г) Представим выражение в виде дроби со знаменателем $2a - b$.

Для этого умножим и разделим $2a + b$ на $2a - b$:

$2a + b = \frac{(2a + b) \cdot (2a - b)}{2a - b}$

Числитель представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, которое равно разности их квадратов (формула сокращенного умножения): $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае $x=2a$ и $y=b$, поэтому:

$(2a + b)(2a - b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

В результате получаем дробь:

Ответ: $\frac{4a^2 - b^2}{2a - b}$

51. Приведите дробь:

a) xa - b к знаменателю (a – b)²;

б) yx - a к знаменателю x² – a²;

в) aa - 10 к знаменателю 10 – a;

г) pp - 2 к знаменателю 4 – p²;

д) mnn - m к знаменателю m² – n².

a) $\frac{x}{a-b}=\frac{x(a-b)}{(a-b)(a-b)}=\frac{x(a-b)}{{(a-b)}^2}=\frac{xa-xb}{{(a-b)}^2};$

б) $\frac{y}{x-a}=\frac{y(x+a)}{(x-a)(x+a)}=\frac{xy+ay}{x^2-a^2};$

в) $\frac{a}{a-10}=\frac{a·(-1)}{(a-10)·(-1)}=\frac{-a}{10-a}=-\frac{a}{10-a};$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{p}{p-2}=\frac{p·(-1)}{(p-2)·(-1)}=\frac{-p}{2-p}= \\ =\frac{-p(2+p)}{(2-p)(2+p)}=-\frac{p^2+2p}{4-p^2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{mn}{n-m}=\frac{mn·(-1)}{(n-m)·(-1)}=\frac{-mn}{m-n}= \\ =\frac{-mn·(m+n)}{(m-n)(m+n)}=-\frac{m^{2}n+m{n}^2}{m^2-n^2} \end{gathered}$$

а) Чтобы привести дробь $\frac{x}{a-b}$ к знаменателю $(a-b)^2$, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на старый:
$(a-b)^2 : (a-b) = a-b$.
Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель:
$\frac{x}{a-b} = \frac{x \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{x(a-b)}{(a-b)^2}$.
Ответ: $\frac{x(a-b)}{(a-b)^2}$

б) Чтобы привести дробь $\frac{y}{x-a}$ к знаменателю $x^2-a^2$, сначала разложим новый знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$.
Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый:
$\frac{(x-a)(x+a)}{x-a} = x+a$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(x+a)$:
$\frac{y}{x-a} = \frac{y \cdot (x+a)}{(x-a) \cdot (x+a)} = \frac{y(x+a)}{x^2-a^2}$.
Ответ: $\frac{y(x+a)}{x^2-a^2}$

в) Чтобы привести дробь $\frac{a}{a-10}$ к знаменателю $10-a$, заметим, что новый знаменатель отличается от старого только знаком:
$10-a = -(a-10)$.
Следовательно, дополнительный множитель равен $-1$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $-1$:
$\frac{a}{a-10} = \frac{a \cdot (-1)}{(a-10) \cdot (-1)} = \frac{-a}{-(a-10)} = \frac{-a}{10-a}$.
Ответ: $\frac{-a}{10-a}$

г) Чтобы привести дробь $\frac{p}{p-2}$ к знаменателю $4-p^2$, разложим новый знаменатель на множители по формуле разности квадратов:
$4-p^2 = (2-p)(2+p)$.
Заметим, что множитель $(2-p)$ связан с исходным знаменателем $(p-2)$ соотношением $2-p = -(p-2)$. Перепишем новый знаменатель:
$4-p^2 = -(p-2)(2+p)$.
Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый:
$\frac{-(p-2)(2+p)}{p-2} = -(2+p)$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $-(2+p)$:
$\frac{p}{p-2} = \frac{p \cdot (-(2+p))}{(p-2) \cdot (-(2+p))} = \frac{-p(2+p)}{-(p-2)(2+p)} = \frac{-p(p+2)}{4-p^2}$.
Ответ: $\frac{-p(p+2)}{4-p^2}$

д) Чтобы привести дробь $\frac{mn}{n-m}$ к знаменателю $m^2-n^2$, разложим новый знаменатель на множители:
$m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.
Исходный знаменатель $(n-m)$ связан с множителем $(m-n)$ соотношением $m-n = -(n-m)$. Перепишем новый знаменатель:
$m^2-n^2 = -(n-m)(m+n)$.
Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый:
$\frac{-(n-m)(m+n)}{n-m} = -(m+n)$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $-(m+n)$:
$\frac{mn}{n-m} = \frac{mn \cdot (-(m+n))}{(n-m) \cdot (-(m+n))} = \frac{-mn(m+n)}{-(n-m)(m+n)} = \frac{-mn(m+n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{-mn(m+n)}{m^2-n^2}$.
Ответ: $\frac{-mn(m+n)}{m^2-n^2}$

52. Решите уравнение:

а) –5x = 16;

б) 2x = 15;

в) 13x = 4;

г) 4x = –2;

д) 0,6x = 3;

е) –0,7x = 5.

a) $-5x=16$

$$\begin{gathered} x=-\frac{16}{5} \\ x=-\frac{32}{10} \\ x=-3,2 \end{gathered}$$

Ответ: -3,2

б) $\raisebox{1ex}{${\displaystyle 2}x={\displaystyle \frac{1}{5}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$·5$}\right.$

$$\begin{gathered} 10x=1 \\ x=\frac{1}{10} \\ x=0,1 \end{gathered}$$

Ответ: 0,1

в) $\raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{1}{3}}x=4$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$·3$}\right.$

x=12

Ответ: 12

г) $4x=-2$

$$\begin{gathered} x=-\frac{2}{4} \\ x=-0,5 \end{gathered}$$

Ответ: -0,5

д) $0,6x=3$

$$\begin{gathered} x=\frac{3}{0,6} \\ x=\frac{30}{6} \\ x=5 \end{gathered}$$

Ответ: 5

е) $-0,7x=5$

$$\begin{gathered} x=\frac{5}{-0,7} \\ x=-\frac{50}{7} \\ x=-7\frac{1}{7} \end{gathered}$$

Ответ: $-7\frac{1}{7}$

а) Чтобы решить уравнение $-5x = 16$, необходимо найти неизвестный множитель $x$. Для этого произведение (16) нужно разделить на известный множитель ($-5$).

$x = 16 : (-5)$

$x = -\frac{16}{5}$

Переведем неправильную дробь в десятичную:

$x = -3,2$

Проверка: $-5 \cdot (-3,2) = 16$. Верно.

Ответ: $-3,2$

б) Чтобы решить уравнение $2x = \frac{1}{5}$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $2$.

$x = \frac{1}{5} : 2$

Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на это число:

$x = \frac{1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10}$

Проверка: $2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Верно.

Ответ: $\frac{1}{10}$

в) Чтобы решить уравнение $\frac{1}{3}x = 4$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $\frac{1}{3}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь ($\frac{3}{1}$ или $3$).

$x = 4 : \frac{1}{3}$

$x = 4 \cdot 3$

$x = 12$

Проверка: $\frac{1}{3} \cdot 12 = \frac{12}{3} = 4$. Верно.

Ответ: $12$

г) Чтобы решить уравнение $4x = -2$, разделим обе части уравнения на $4$.

$x = -2 : 4$

$x = -\frac{2}{4}$

Сократим дробь на $2$:

$x = -\frac{1}{2}$

Или в виде десятичной дроби:

$x = -0,5$

Проверка: $4 \cdot (-0,5) = -2$. Верно.

Ответ: $-0,5$

д) Чтобы решить уравнение $0,6x = 3$, разделим обе части уравнения на $0,6$.

$x = 3 : 0,6$

Чтобы разделить на десятичную дробь, можно умножить и делимое, и делитель на $10$, чтобы делитель стал целым числом:

$x = 30 : 6$

$x = 5$

Проверка: $0,6 \cdot 5 = 3$. Верно.

Ответ: $5$

е) Чтобы решить уравнение $-0,7x = 5$, разделим обе части уравнения на $-0,7$.

$x = 5 : (-0,7)$

$x = -\frac{5}{0,7}$

Умножим числитель и знаменатель дроби на $10$, чтобы избавиться от десятичного знака в знаменателе:

$x = -\frac{5 \cdot 10}{0,7 \cdot 10} = -\frac{50}{7}$

Можно также выделить целую часть: $x = -7\frac{1}{7}$.

Проверка: $-0,7 \cdot (-\frac{50}{7}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{50}{7} = \frac{50}{10} = 5$. Верно.

Ответ: $-\frac{50}{7}$

53. Разложите на множители:

а) 5bc – 5c;

б) 10n + 15n²;

в) 8ab + 12bc;

г) 5y – 5x + y² – xy;

д) a² – 9;

е) x² + 10x + 25;

ж) y² – 2y + 1;

з) a³ + 64;

и) b³ – 1.

a) $5bc-5c=5c(b-1)$

б) $10n+15n^2=5n(2+3n)$

в) $8ab+12bc=4b(2a+3c)$

г) $$\begin{gathered} 5y-5x+y^2-xy=(5y-5x)+(y^2-xy)= \\ =5(y-x)+y(y-x)=(y-x)(5+y) \end{gathered}$$

д) $a^2-9=(a-3)(a+3)$

е) $x^2+10x+25={(x+5)}^2$

ж) $y^2-2y+1={(y-1)}^2$

з) $a^3+64=(a+4)(a^2-4a+16)$

и) $b^3-1=(b-1)(b^2+b+1)$

а) Для разложения на множители выражения $5bc - 5c$ необходимо вынести общий множитель за скобки. Общим множителем для обоих членов является $5c$.
$5bc - 5c = 5c \cdot b - 5c \cdot 1 = 5c(b - 1)$.
Ответ: $5c(b - 1)$.

б) В выражении $10n + 15n^2$ найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 10 и 15, который равен 5, и общую переменную часть с наименьшим показателем, которая равна $n$. Вынесем общий множитель $5n$ за скобки.
$10n + 15n^2 = 5n \cdot 2 + 5n \cdot 3n = 5n(2 + 3n)$.
Ответ: $5n(2 + 3n)$.

в) В выражении $8ab + 12bc$ найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 8 и 12, который равен 4, и общую переменную, которая равна $b$. Вынесем общий множитель $4b$ за скобки.
$8ab + 12bc = 4b \cdot 2a + 4b \cdot 3c = 4b(2a + 3c)$.
Ответ: $4b(2a + 3c)$.

г) Для разложения на множители выражения $5y - 5x + y^2 - xy$ используем метод группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым слагаемые: $(5y - 5x) + (y^2 - xy)$.
Вынесем общий множитель из каждой группы: $5(y - x) + y(y - x)$.
Теперь вынесем общий множитель $(y - x)$ за скобки: $(y - x)(5 + y)$.
Ответ: $(y - x)(5 + y)$.

д) Выражение $a^2 - 9$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A = a$ и $B = 3$, так как $9 = 3^2$.
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$.
Ответ: $(a - 3)(a + 3)$.

е) Выражение $x^2 + 10x + 25$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В данном случае $A = x$ и $B = 5$, так как $x^2$ - это квадрат $x$, $25$ - это квадрат $5$, а $10x$ - это удвоенное произведение $x$ и $5$ ($2 \cdot x \cdot 5$).
$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.
Ответ: $(x + 5)^2$.

ж) Выражение $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A = y$ и $B = 1$, так как $y^2$ - это квадрат $y$, $1$ - это квадрат $1$, а $-2y$ - это удвоенное произведение $y$ и $1$ со знаком минус ($-2 \cdot y \cdot 1$).
$y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.
Ответ: $(y - 1)^2$.

з) Выражение $a^3 + 64$ представляет собой сумму кубов. Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
В данном случае $A = a$ и $B = 4$, так как $64 = 4^3$.
$a^3 + 64 = a^3 + 4^3 = (a + 4)(a^2 - a \cdot 4 + 4^2) = (a + 4)(a^2 - 4a + 16)$.
Ответ: $(a + 4)(a^2 - 4a + 16)$.

и) Выражение $b^3 - 1$ представляет собой разность кубов. Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В данном случае $A = b$ и $B = 1$, так как $1 = 1^3$.
$b^3 - 1 = b^3 - 1^3 = (b - 1)(b^2 + b \cdot 1 + 1^2) = (b - 1)(b^2 + b + 1)$.
Ответ: $(b - 1)(b^2 + b + 1)$.

54. Расположите выражения:

a) 516 : 6, 516∙ 0,1, 516 ∙ (-7) в порядке возрастания их значений;

б) 0,8 ∙ (–0,4), 0,8 : (–0,4), 0,8 – (–0,4), 0,8 + (–0,4) в порядке убывания их значений.

a) $\frac{5}{16}:6=\frac{5}{16·6}=\frac{5}{96}$

$$\begin{gathered} \frac{5}{16}·0,1=\frac{5}{16}·\frac{1}{10}=\frac{1}{16·2}=\frac{1}{32}=\frac{3}{96} \\ \frac{5}{16}·(-7)=-\frac{35}{16}=-2\frac{3}{16} \\ -2\frac{3}{16}; \frac{3}{96}; \frac{5}{96} \\ \frac{5}{16}·(-7); \frac{5}{16}·0,1; \frac{5}{16}:6 \end{gathered}$$

б) $0,8·(-0,4)=-0,32$

$$\begin{gathered} 0,8:(-0,4)=-8:4=-2 \\ 0,8-(-0,4)=0,8+0,4=1,2 \\ 0,8+(-0,4)=0,4 \end{gathered}$$
1,2; 0,4; -0,32; -2
0,8-(-0,4); 0,8+(-0,4); $0,8·(-0,4);$
$0,8:(-0,4)$

а) Чтобы расположить выражения в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Все три выражения $\frac{5}{16} : 6$, $\frac{5}{16} \cdot 0,1$ и $\frac{5}{16} \cdot (-7)$ содержат общий положительный множитель $\frac{5}{16}$. Следовательно, порядок значений этих выражений будет определяться порядком значений вторых операндов.

Для выражения $\frac{5}{16} : 6$ второй операнд можно представить как множитель $\frac{1}{6}$, так как деление на число равносильно умножению на обратное ему число: $\frac{5}{16} : 6 = \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{6}$.

Для выражения $\frac{5}{16} \cdot 0,1$ второй множитель равен $0,1$.

Для выражения $\frac{5}{16} \cdot (-7)$ второй множитель равен $-7$.

Теперь сравним числа $-7$, $0,1$ и $\frac{1}{6}$ и расположим их в порядке возрастания.

Число $-7$ отрицательное, поэтому оно является наименьшим.

Сравним положительные числа $0,1$ и $\frac{1}{6}$. Для этого представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,1 = \frac{1}{10}$.

Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{6}$, приведем их к общему знаменателю, например, к $30$:

$\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{3}{30}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$

Поскольку $3 < 5$, то $\frac{3}{30} < \frac{5}{30}$, а значит $0,1 < \frac{1}{6}$.

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $-7 < 0,1 < \frac{1}{6}$.

Соответственно, исходные выражения в порядке возрастания их значений будут:

$\frac{5}{16} \cdot (-7) < \frac{5}{16} \cdot 0,1 < \frac{5}{16} : 6$.

Ответ: $\frac{5}{16} \cdot (-7)$, $\frac{5}{16} \cdot 0,1$, $\frac{5}{16} : 6$.

б) Чтобы расположить выражения в порядке убывания, вычислим значение каждого из них.

1. $0,8 \cdot (-0,4) = -0,32$

2. $0,8 : (-0,4) = - \frac{0,8}{0,4} = -2$

3. $0,8 - (-0,4) = 0,8 + 0,4 = 1,2$

4. $0,8 + (-0,4) = 0,8 - 0,4 = 0,4$

Мы получили следующие значения: $-0,32$, $-2$, $1,2$, $0,4$.

Теперь расположим эти значения в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему).

Среди этих чисел два положительных ($1,2$ и $0,4$) и два отрицательных ($-0,32$ и $-2$). Наибольшим будет самое большое положительное число, а наименьшим — отрицательное число с наибольшим модулем.

Сравниваем положительные числа: $1,2 > 0,4$.

Сравниваем отрицательные числа: $-0,32 > -2$.

Таким образом, полный порядок убывания следующий: $1,2 > 0,4 > -0,32 > -2$.

Сопоставив значения с исходными выражениями, получаем искомый порядок:

$0,8 - (-0,4)$, $0,8 + (-0,4)$, $0,8 \cdot (-0,4)$, $0,8 : (-0,4)$.

Ответ: $0,8 - (-0,4)$, $0,8 + (-0,4)$, $0,8 \cdot (-0,4)$, $0,8 : (-0,4)$.

1. Приведите примеры целых выражений; дробных выражений.

$$\begin{gathered} 7a^{2}b, m^3+n^3, (x-y)(x^2+y^2), \\ {x}^{4}y+2x^2{y}^2+8y, m^8+n^6+m^2{n}^2, \\ {b}^{10}-\frac{b(3b+c)}{7}, \frac{a+5}{8}, 2x:9. \end{gathered}$$

1. Целые выражения:
   Дробные выражения:

$$\begin{gathered} 4a-\frac{b}{2a+1}, \frac{x+y}{x^2-3xy+y^2}, \\ \frac{n}{3}-\frac{5}{n^2+1}, 2p:q, \end{gathered}$$

целых выражений

Целые выражения — это математические выражения, которые состоят из чисел и переменных, соединенных знаками операций сложения, вычитания и умножения. Также к целым выражениям относится возведение в натуральную степень и деление на число, не равное нулю. Ключевая особенность целых выражений заключается в том, что они не содержат деления на переменную.

Примеры целых выражений:

• Простое число или переменная: $15$; $x$; $a$.
• Сумма и разность: $a+b$; $x-y+10$.
• Произведение (одночлен): $7xy^2$.
• Многочлен: $3a^2 - 2ab + b^2 - 1$.
• Выражение с делением на константу (число): $\frac{x+y}{4}$.
• Выражение со скобками: $(c-d)(c+d)$.

Ответ: $5x^2-2y+1$; $(a+b)c$; $17-z$; $\frac{m+n}{8}$.

дробных выражений

Дробные выражения — это математические выражения, которые, помимо операций сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменной. Иными словами, в знаменателе дроби у таких выражений есть переменная.

Примеры дробных выражений:

• Простейшая дробь с переменной в знаменателе: $\frac{1}{x}$.
• Отношение двух переменных или выражений: $\frac{a}{b+c}$; $\frac{x^2+1}{x-3}$.
• Сумма (или разность) целого и дробного выражения: $y + \frac{2}{y}$; $10 - \frac{a+b}{c}$.
• Выражение, где все слагаемые являются дробями: $\frac{k}{m} + \frac{m}{n}$.

Ответ: $\frac{a}{b}$; $\frac{12}{x-5}$; $k + \frac{1}{k}$; $\frac{x^2-y^2}{x+1}$.

2. Какую дробь называют рациональной? Приведите пример.

2. Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной (алгебраической) дробью.

Примерами рациональных дробей служат дроби

$\frac{5}{a}, \frac{b-3}{10}, \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}, \frac{3}{m^2-n^2}.$

Рациональной дробью (или рациональным алгебраическим выражением) называют дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

В общем виде рациональную дробь можно записать так: $$ \frac{P}{Q} $$ где $P$ — многочлен (числитель), а $Q$ — ненулевой многочлен (знаменатель). Многочленами, в свою очередь, называют суммы одночленов. Числа и переменные также являются многочленами.

Ключевое свойство, определяющее рациональную дробь, — это наличие многочленов в числителе и знаменателе. Если знаменатель не содержит переменных (является числом, отличным от нуля), то такое выражение называют целым. Если же знаменатель содержит переменную, то выражение называют дробным. И целые, и дробные выражения являются рациональными.

Примеры рациональных дробей:

• $ \frac{x-2}{x+3} $ — дробное рациональное выражение, так как в знаменателе есть переменная $x$.
• $ \frac{a^2 - ab + b^2}{a+b} $ — дробное рациональное выражение с двумя переменными.
• $ \frac{y^2-9}{4} $ — целое рациональное выражение, так как знаменатель — это число (многочлен нулевой степени).
• $ \frac{5}{z} $ — простейшее дробное рациональное выражение.

Ответ: Рациональной дробью называют дробь вида $ \frac{P}{Q} $, где $P$ и $Q$ — многочлены, и $Q$ не является нулевым многочленом. Пример: $ \frac{2a-b}{a^2+1} $.

3. Дайте определение тождества. Приведите пример.

3. Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

$\frac{x+2}{x-3}=\frac{(x+2)(x+y)}{(x-3)(x+y)}$

Дайте определение тождества

Тождество — это равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Допустимыми называются такие значения переменных, при которых и левая, и правая части равенства имеют смысл (например, если в выражении есть дробь, то её знаменатель не должен обращаться в ноль).

Ответ: Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных.

Приведите пример

Примером тождества может служить любая из формул сокращенного умножения. Например, формула квадрата суммы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Это равенство будет истинным при подстановке любых чисел вместо переменных $a$ и $b$.

Другой пример — распределительный закон умножения относительно сложения:

$c(a + b) = ca + cb$

Также примером является основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$

Ответ: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

4. Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.

4. если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$

Доказательство.

Пусть $\frac{a}{b}=m.$ Тогда по определению частного $a=bm.$ Умножим обе части этого равенства на с:

$ac=\left(bm\right)c.$

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем

$ac=\left(bc\right)m.$

Так как $bc\ne 0,$ то по определению частного

$\frac{ac}{bc}=m.$

Значит,

$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}.$

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится.

Для любой дроби $ \frac{a}{b} $ (где $ b \neq 0 $) и любого числа $ n $ (где $ n \neq 0 $) справедливо равенство:

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $

Это свойство также означает, что дробь можно сокращать, то есть делить числитель и знаменатель на их общий делитель $m$:

$ \frac{a}{b} = \frac{a : m}{b : m} $

Ответ: Основное свойство дроби заключается в том, что значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Рассмотрим дробь $ \frac{a}{b} $. По определению, дробь является результатом деления $a$ на $b$. Обозначим значение этой дроби через $x$. Тогда справедливо равенство:

$ x = \frac{a}{b} \implies b \cdot x = a $

Нам нужно доказать, что дробь $ \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $ (где $n \neq 0$) также равна $x$.

Умножим обе части равенства $ b \cdot x = a $ на число $n$:

$ (b \cdot x) \cdot n = a \cdot n $

Используя сочетательное свойство умножения (которое гласит, что $ (k \cdot l) \cdot m = k \cdot (l \cdot m) $), перегруппируем множители в левой части равенства:

$ (b \cdot n) \cdot x = a \cdot n $

Полученное равенство $ (b \cdot n) \cdot x = a \cdot n $ по определению деления означает, что $x$ является частным от деления $ (a \cdot n) $ на $ (b \cdot n) $. То есть:

$ x = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $

Поскольку мы исходили из того, что $ x = \frac{a}{b} $, мы приходим к выводу, что:

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $

Таким образом, основное свойство дроби доказано.

Ответ: Свойство $ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $ (при $ b \neq 0, n \neq 0 $) доказано на основе определения дроби как результата деления и свойств операции умножения.

5. Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.

5. если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

Правило изменения знака перед дробью является следствием свойств деления чисел и выражений. У любой дроби, например $\frac{a}{b}$, можно выделить три знака: знак перед самой дробью, знак числителя и знак знаменателя.

Значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у двух из этих трех элементов. Нас интересует правило, связанное с изменением знака именно перед дробью.

Чтобы изменить знак перед дробью на противоположный, необходимо изменить на противоположный знак либо числителя, либо знаменателя этой дроби.

Математически это можно записать в виде следующих тождеств:

$ -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} $

И наоборот:

$ \frac{a}{b} = - \frac{-a}{b} = - \frac{a}{-b} $

Пример 1 (числовой):

Рассмотрим дробь $-\frac{10}{5}$. Ее значение равно $-2$.

Согласно правилу, мы можем убрать минус перед дробью и поменять знак числителя: $ -\frac{10}{5} = \frac{-10}{5} = -2 $.
Или мы можем убрать минус перед дробью и поменять знак знаменателя: $ -\frac{10}{5} = \frac{10}{-5} = -2 $.
Все три выражения равны.

Пример 2 (алгебраический):

Рассмотрим выражение $\frac{x-2}{3-y}$. Если мы хотим поставить знак "минус" перед этой дробью, нам нужно поменять знак либо у числителя, либо у знаменателя.

Меняем знак числителя: $ \frac{x-2}{3-y} = -\frac{-(x-2)}{3-y} = -\frac{-x+2}{3-y} = -\frac{2-x}{3-y} $

Меняем знак знаменателя: $ \frac{x-2}{3-y} = -\frac{x-2}{-(3-y)} = -\frac{x-2}{-3+y} = -\frac{x-2}{y-3} $

Таким образом, все эти дроби равны: $ \frac{x-2}{3-y} = -\frac{2-x}{3-y} = -\frac{x-2}{y-3} $

Важно также помнить следствие из этого правила: если одновременно изменить знак и у числителя, и у знаменателя, то знак самой дроби (и ее значение) не изменится.

$ \frac{a}{b} = \frac{-a}{-b} $

Например, $\frac{5}{2} = \frac{-5}{-2} = 2.5$.

Ответ: Чтобы изменить знак перед дробью, нужно изменить на противоположный знак либо ее числителя, либо ее знаменателя, оставив второй компонент без изменений.