Страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Укажите общий множитель числителя и знаменателя и сократите дробь:

a) 2x3x;

б) 15x25y;

в) 6a24a;

г) 7ab21bc.

д) -2xy5x²y;

е) 8x²y²24xy.

a) $\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3};$

б) $\frac{15x}{25y}=\frac{5·3x}{5·5y}=\frac{3x}{5y};$

в) $\frac{6a}{24a}=\frac{6a}{4·6a}=\frac{1}{4};$

г) $\frac{7ab}{21bc}=\frac{a·7b}{3c·7b}=\frac{a}{3c};$

д) $\frac{-2xy}{5x^{2}y}=-\frac{2}{5x};$

е) $\frac{8x^2{y}^2}{24xy}=\frac{xy}{3}$

а) В дроби $\frac{2x}{3x}$ общим множителем для числителя $2x$ и знаменателя $3x$ является переменная $x$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на этот общий множитель: $\frac{2x}{3x} = \frac{2 \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}$.
Ответ: общий множитель $x$, сокращенная дробь $\frac{2}{3}$.

б) Для дроби $\frac{15x}{25y}$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 15 и 25. НОД(15, 25) = 5. Переменные $x$ и $y$ различны, поэтому общий множитель - это только число 5. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{15x}{25y} = \frac{3 \cdot 5 \cdot x}{5 \cdot 5 \cdot y} = \frac{3x}{5y}$.
Ответ: общий множитель 5, сокращенная дробь $\frac{3x}{5y}$.

в) Для дроби $\frac{6a}{24a}$ общий множитель включает в себя НОД коэффициентов 6 и 24, который равен 6, и общую переменную $a$. Таким образом, общий множитель равен $6a$. Сокращаем дробь на $6a$: $\frac{6a}{24a} = \frac{1 \cdot 6a}{4 \cdot 6a} = \frac{1}{4}$.
Ответ: общий множитель $6a$, сокращенная дробь $\frac{1}{4}$.

г) В дроби $\frac{7ab}{21bc}$ НОД коэффициентов 7 и 21 равен 7. Общая переменная в числителе и знаменателе - это $b$. Следовательно, общий множитель равен $7b$. Сокращаем дробь на $7b$: $\frac{7ab}{21bc} = \frac{a \cdot (7b)}{3c \cdot (7b)} = \frac{a}{3c}$.
Ответ: общий множитель $7b$, сокращенная дробь $\frac{a}{3c}$.

д) Рассмотрим дробь $\frac{-2xy}{5x^2y}$. Коэффициенты -2 и 5 взаимно просты, их НОД равен 1. Общие переменные в числителе $xy$ и знаменателе $x^2y$ - это $x$ и $y$. Таким образом, общий буквенный множитель равен $xy$. Сокращаем дробь: $\frac{-2xy}{5x^2y} = \frac{-2 \cdot x \cdot y}{5 \cdot x \cdot x \cdot y} = -\frac{2}{5x}$.
Ответ: общий множитель $xy$, сокращенная дробь $-\frac{2}{5x}$.

е) В дроби $\frac{8x^2y^2}{24xy}$ НОД коэффициентов 8 и 24 равен 8. Общая часть переменных в числителе $x^2y^2$ и знаменателе $xy$ - это $xy$. Значит, общий множитель равен $8xy$. Сокращаем дробь на $8xy$: $\frac{8x^2y^2}{24xy} = \frac{xy \cdot (8xy)}{3 \cdot (8xy)} = \frac{xy}{3}$.
Ответ: общий множитель $8xy$, сокращенная дробь $\frac{xy}{3}$.

26. Сократите дробь:

a) 10xz15yz;

б) 6ab²9bc²;

в) 2ay³-4a²b;

г) -6p²q-2q³.

д) 24a²c²36ac;

е) 63x²y³42x⁶y⁴.

a) $\frac{10xz}{15yz}=\frac{2x}{3y};$

б) $\frac{6a{b}^2}{9b{c}^2}=\frac{2ab}{3c^2};$

в) $\frac{2a{y}^3}{-4a^{2}b}=\frac{y^3}{2ab};$

г) $\frac{-6p^{2}q}{-2q^3}=\frac{3p^2}{q^2};$

д) $\frac{24a^2{c}^2}{36ac}=\frac{2ac}{3};$

е) $\frac{63x^2{y}^3}{42x^6{y}^4}=\frac{3}{2x^{4}y}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{10xz}{15yz}$, необходимо разделить числитель и знаменатель на их общие множители. Коэффициенты 10 и 15 имеют наибольший общий делитель (НОД) 5, поэтому $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. Переменная $z$ является общим множителем и сокращается. Таким образом, $\frac{10xz}{15yz} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot z}{3 \cdot 5 \cdot y \cdot z} = \frac{2x}{3y}$.
Ответ: $\frac{2x}{3y}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{6ab^2}{9bc^2}$, найдем общие множители. НОД коэффициентов 6 и 9 равен 3, поэтому $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Для переменных, общий множитель - это $b$. Сокращая $\frac{b^2}{b}$, получаем $b^{2-1} = b$. Объединяя результаты, имеем: $\frac{6ab^2}{9bc^2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot b^2}{3 \cdot 3 \cdot b \cdot c^2} = \frac{2ab}{3c^2}$.
Ответ: $\frac{2ab}{3c^2}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{2ay^3}{-4a^2b}$, сначала сократим коэффициенты $\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$. Затем сократим переменные. Для $a$ имеем $\frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$. Переменная $y^3$ остается в числителе, а $b$ - в знаменателе. В итоге получаем: $\frac{2ay^3}{-4a^2b} = -\frac{2}{4} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{y^3}{b} = -\frac{y^3}{2ab}$.
Ответ: $-\frac{y^3}{2ab}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{-6p^2q}{-2q^3}$, разделим коэффициенты: $\frac{-6}{-2} = 3$. Затем сократим переменные: $\frac{q}{q^3} = q^{1-3} = q^{-2} = \frac{1}{q^2}$. Переменная $p^2$ остается в числителе. В результате: $\frac{-6p^2q}{-2q^3} = 3 \cdot \frac{p^2}{1} \cdot \frac{1}{q^2} = \frac{3p^2}{q^2}$.
Ответ: $\frac{3p^2}{q^2}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{24a^2c^2}{36ac}$, сократим коэффициенты на их НОД, который равен 12: $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$. Сократим переменные: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$ и $\frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c$. Объединив все, получим: $\frac{24a^2c^2}{36ac} = \frac{2 \cdot 12 \cdot a^2 \cdot c^2}{3 \cdot 12 \cdot a \cdot c} = \frac{2ac}{3}$.
Ответ: $\frac{2ac}{3}$.

е) Чтобы сократить дробь $\frac{63x^2y^3}{42x^6y^4}$, сократим коэффициенты на их НОД, равный 21: $\frac{63}{42} = \frac{3}{2}$. Сократим переменные, используя свойство степеней: $\frac{x^2}{x^6} = x^{2-6} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$ и $\frac{y^3}{y^4} = y^{3-4} = y^{-1} = \frac{1}{y}$. Итоговый результат: $\frac{63x^2y^3}{42x^6y^4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^4} \cdot \frac{1}{y} = \frac{3}{2x^4y}$.
Ответ: $\frac{3}{2x^4y}$.

27. Представьте частное в виде дроби и сократите её:

а) 4a²b³ : (2a⁴b²);

б) 3xy² : (6x³y³);

в) 24p⁴q⁴ : (48p²q²);

г) 36m²n : (18mn);

д) –32b⁵c : (12b⁴c²);

е) –6ax : (–18ax).

a) $4a^2{b}^3:\left(2a^4{b}^2\right)=\frac{4a^2{b}^3}{2a^4{b}^2}=\frac{2b}{a^2};$

б) $3x{y}^2:\left(6x^3{y}^3\right)=\frac{3x{y}^2}{6x^3{y}^3}=\frac{1}{2x^{2}y};$

в) $24p^4{q}^4:\left(48p^2{q}^2\right)=\frac{24p^4{q}^4}{48p^2{q}^2}=\frac{p^2{q}^2}{2};$

г) $36m^{2}n:\left(18mn\right)=\frac{36m^{2}n}{18mn}=2m;$

д) $-32b^{5}c:\left(12b^4{c}^2\right)=\frac{-32b^{5}c}{12b^4{c}^2}=-\frac{8b}{3c};$

е) $-6ax:\left(-18ax\right)=\frac{-6ax}{-18ax}=\frac{1}{3}$

а)

Чтобы представить частное $4a^2b^3 : (2a^4b^2)$ в виде дроби и сократить ее, запишем делимое в числитель, а делитель в знаменатель:

$$ \frac{4a^2b^3}{2a^4b^2} $$

Теперь сократим дробь. Для этого разделим числовые коэффициенты, а для переменных с одинаковым основанием применим правило деления степеней $x^m / x^n = x^{m-n}$:

$$ \frac{4}{2} \cdot a^{2-4} \cdot b^{3-2} = 2 \cdot a^{-2} \cdot b^1 = 2 \cdot \frac{1}{a^2} \cdot b = \frac{2b}{a^2} $$

Ответ: $ \frac{2b}{a^2} $

б)

Представим частное $3xy^2 : (6x^3y^3)$ в виде дроби:

$$ \frac{3xy^2}{6x^3y^3} $$

Сократим числовые коэффициенты и переменные:

$$ \frac{3}{6} \cdot x^{1-3} \cdot y^{2-3} = \frac{1}{2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2x^2y} $$

Ответ: $ \frac{1}{2x^2y} $

в)

Представим частное $24p^4q^4 : (48p^2q^2)$ в виде дроби:

$$ \frac{24p^4q^4}{48p^2q^2} $$

Сократим дробь:

$$ \frac{24}{48} \cdot p^{4-2} \cdot q^{4-2} = \frac{1}{2} \cdot p^2 \cdot q^2 = \frac{p^2q^2}{2} $$

Ответ: $ \frac{p^2q^2}{2} $

г)

Представим частное $36m^2n : (18mn)$ в виде дроби:

$$ \frac{36m^2n}{18mn} $$

Сократим дробь:

$$ \frac{36}{18} \cdot m^{2-1} \cdot n^{1-1} = 2 \cdot m^1 \cdot n^0 = 2 \cdot m \cdot 1 = 2m $$

Ответ: $ 2m $

д)

Представим частное $-32b^5c : (12b^4c^2)$ в виде дроби:

$$ \frac{-32b^5c}{12b^4c^2} $$

Сократим числовые коэффициенты (наибольший общий делитель для 32 и 12 равен 4) и переменные:

$$ -\frac{32 \div 4}{12 \div 4} \cdot b^{5-4} \cdot c^{1-2} = -\frac{8}{3} \cdot b^1 \cdot c^{-1} = -\frac{8b}{3c} $$

Ответ: $ -\frac{8b}{3c} $

е)

Представим частное $-6ax : (-18ax)$ в виде дроби:

$$ \frac{-6ax}{-18ax} $$

Сократим знаки "минус" и общие множители в числителе и знаменателе:

$$ \frac{6ax}{18ax} = \frac{6}{18} \cdot \frac{ax}{ax} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} $$

Ответ: $ \frac{1}{3} $

28. Сократите дробь:

a) 4a²6ac;

б) 7x²y21xy²;

в) 56m²n⁵35mn⁵;

г) 25p⁴q100p⁵q.

a) $\frac{4a^2}{6ac}=\frac{2a}{3c};$

б) $\frac{7x^{2}y}{21x{y}^2}=\frac{x}{3y};$

в) $\frac{56m^2{n}^5}{35m{n}^2}=\frac{8m}{5};$

г) $\frac{25p^{4}q}{100p^{5}q}=\frac{1}{4p}$

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{4a^2}{6ac}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить их друг на друга.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $4a^2 = 2 \cdot 2 \cdot a \cdot a$
Знаменатель: $6ac = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot c$

2. Запишем дробь с разложенными множителями:
$\frac{2 \cdot 2 \cdot a \cdot a}{2 \cdot 3 \cdot a \cdot c}$

3. Сократим общие множители. Общими множителями являются $2$ и $a$.
$\frac{\sout{2} \cdot 2 \cdot \sout{a} \cdot a}{\sout{2} \cdot 3 \cdot \sout{a} \cdot c} = \frac{2a}{3c}$

Таким образом, мы сократили числовые коэффициенты (4 и 6 на 2) и переменные ( $a^2$ и $a$ на $a$).

Ответ: $\frac{2a}{3c}$

б)

Сократим дробь $\frac{7x^2y}{21xy^2}$.

1. Сократим числовые коэффициенты 7 и 21. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 7.
$7 \div 7 = 1$
$21 \div 7 = 3$

2. Сократим переменные. Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Для переменной $x$: $\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x^1 = x$.
Для переменной $y$: $\frac{y}{y^2} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.

3. Объединим полученные результаты:
$\frac{7x^2y}{21xy^2} = \frac{1 \cdot x}{3 \cdot y} = \frac{x}{3y}$

Ответ: $\frac{x}{3y}$

в)

Сократим дробь $\frac{56m^2n^5}{35mn^5}$.

1. Сократим числовые коэффициенты 56 и 35. НОД(56, 35) = 7.
$56 \div 7 = 8$
$35 \div 7 = 5$

2. Сократим переменные.
Для переменной $m$: $\frac{m^2}{m} = m^{2-1} = m$.
Для переменной $n$: $\frac{n^5}{n^5} = n^{5-5} = n^0 = 1$.

3. Соберем все части вместе:
$\frac{56m^2n^5}{35mn^5} = \frac{8 \cdot m \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{8m}{5}$

Ответ: $\frac{8m}{5}$

г)

Сократим дробь $\frac{25p^4q}{100p^5q}$.

1. Сократим числовые коэффициенты 25 и 100. НОД(25, 100) = 25.
$25 \div 25 = 1$
$100 \div 25 = 4$

2. Сократим переменные.
Для переменной $p$: $\frac{p^4}{p^5} = p^{4-5} = p^{-1} = \frac{1}{p}$.
Для переменной $q$: $\frac{q}{q} = q^{1-1} = q^0 = 1$.

3. Объединим полученные результаты:
$\frac{25p^4q}{100p^5q} = \frac{1 \cdot \frac{1}{p} \cdot 1}{4} = \frac{1}{4p}$

Ответ: $\frac{1}{4p}$

29. Найдите значение выражения:

a) 8¹⁶16¹²;

б) 81²⁵27³³;

a) $\frac{8^{16}}{{16}^{12}}=\frac{{\left(2^3\right)}^{16}}{{\left(2^4\right)}^{12}}=\frac{2^{48}}{2^{48}}=1;$

б) $\frac{{81}^{25}}{{27}^{33}}=\frac{{\left(3^4\right)}^{25}}{{\left(3^3\right)}^{33}}=\frac{3^{100}}{3^{99}}=3$

а)

Чтобы найти значение выражения $\frac{8^{16}}{16^{12}}$, необходимо привести основания степеней 8 и 16 к общему основанию. Заметим, что оба числа являются степенями двойки:

$8 = 2^3$

$16 = 2^4$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{8^{16}}{16^{12}} = \frac{(2^3)^{16}}{(2^4)^{12}}$

Далее воспользуемся свойством степени «возведение степени в степень», согласно которому $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Преобразуем числитель:

$(2^3)^{16} = 2^{3 \cdot 16} = 2^{48}$

Преобразуем знаменатель:

$(2^4)^{12} = 2^{4 \cdot 12} = 2^{48}$

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{2^{48}}{2^{48}}$

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{2^{48}}{2^{48}} = 2^{48-48} = 2^0 = 1$

Ответ: 1

б)

Для нахождения значения выражения $\frac{81^{25}}{27^{33}}$ приведем основания степеней 81 и 27 к общему основанию. Оба числа являются степенями тройки:

$81 = 3^4$

$27 = 3^3$

Подставим эти представления в исходную дробь:

$\frac{81^{25}}{27^{33}} = \frac{(3^4)^{25}}{(3^3)^{33}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим числитель и знаменатель.

В числителе:

$(3^4)^{25} = 3^{4 \cdot 25} = 3^{100}$

В знаменателе:

$(3^3)^{33} = 3^{3 \cdot 33} = 3^{99}$

Теперь выражение выглядит следующим образом:

$\frac{3^{100}}{3^{99}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{100}}{3^{99}} = 3^{100-99} = 3^1 = 3$

Ответ: 3

30. Сократите дробь:

a) a(b-2)5(b-2);

б) 3(x+4)c(x+4);

в) ab(y+3)a²b(y+3);

г) 15a(a-b)20b(a-b).

a) $\frac{a\left(b-2\right)}{5\left(b-2\right)}=\frac{a}{5};$

б) $\frac{3\left(x+4\right)}{c\left(x+4\right)}=\frac{3}{c};$

в) $\frac{ab\left(y+3\right)}{a^{2}b\left(y+3\right)}=\frac{1}{a};$

г) $\frac{15a\left(a-b\right)}{20b\left(a-b\right)}=\frac{3a}{4b}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a(b-2)}{5(b-2)}$, необходимо разделить числитель и знаменатель на их общий множитель. В данном случае общим множителем является выражение $(b-2)$. Сокращение возможно при условии, что множитель не равен нулю, то есть $b-2 \neq 0$, или $b \neq 2$.

Выполняем сокращение:

$\frac{a(b-2)}{5(b-2)} = \frac{a \cdot \cancel{(b-2)}}{5 \cdot \cancel{(b-2)}} = \frac{a}{5}$

Ответ: $\frac{a}{5}$

б) В дроби $\frac{3(x+4)}{c(x+4)}$ числитель и знаменатель имеют общий множитель $(x+4)$. Сократим дробь на это выражение, при условии, что $x+4 \neq 0$ (то есть $x \neq -4$) и знаменатель не равен нулю ($c \neq 0$).

Выполняем сокращение:

$\frac{3(x+4)}{c(x+4)} = \frac{3 \cdot \cancel{(x+4)}}{c \cdot \cancel{(x+4)}} = \frac{3}{c}$

Ответ: $\frac{3}{c}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{ab(y+3)}{a^2b(y+3)}$. Общими множителями для числителя и знаменателя являются $a$, $b$ и $(y+3)$. Сокращение возможно при условиях $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $y+3 \neq 0$ (то есть $y \neq -3$).

Представим $a^2$ как $a \cdot a$ и выполним сокращение пошагово:

$\frac{ab(y+3)}{a^2b(y+3)} = \frac{\cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(y+3)}}{a \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(y+3)}} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

г) Для сокращения дроби $\frac{15a(a-b)}{20b(a-b)}$ найдем общие множители. Общим множителем является выражение $(a-b)$, при условии $a \neq b$. Также необходимо сократить числовые коэффициенты 15 и 20.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 15 и 20. НОД(15, 20) = 5. Разделим коэффициенты на 5: $15 \div 5 = 3$ и $20 \div 5 = 4$.

Выполним сокращение дроби:

$\frac{15a(a-b)}{20b(a-b)} = \frac{\cancel{15}^3 \cdot a \cdot \cancel{(a-b)}}{\cancel{20}^4 \cdot b \cdot \cancel{(a-b)}} = \frac{3a}{4b}$

Ответ: $\frac{3a}{4b}$

31. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:

a) 3a+12b6ab;

б) 15b-20c10b;

в) 2a-43(a-2);

г) 5x(y+2)6y+12;

д) a-3ba²-3ab;

е) 3x²+15xyx+5y.

a) $\frac{3a+12b}{6ab}=\frac{3\left(a+4b\right)}{6ab}=\frac{a+4b}{2ab};$

б) $\frac{15b-20c}{10b}=\frac{5\left(3b-4c\right)}{10b}=\frac{3b-4c}{2b};$

в) $\frac{2a-4}{3\left(a-2\right)}=\frac{2\left(a-2\right)}{3\left(a-2\right)}=\frac{2}{3};$

г) $\frac{5x\left(y+2\right)}{6y+12}=\frac{5x\left(y+2\right)}{6\left(y+2\right)}=\frac{5x}{6};$

д) $\frac{a-3b}{a^2-3ab}=\frac{a-3b}{a\left(a-3b\right)}=\frac{1}{a};$

е) $\frac{3x^2+15xy}{x+5y}=\frac{3x\left(x+5y\right)}{x+5y}=3x$

а) $\frac{3a + 12b}{6ab}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3a + 12b = 3(a + 4b)$. Знаменатель $6ab$ можно представить в виде произведения $2 \cdot 3 \cdot ab$. Получим дробь:

$\frac{3(a + 4b)}{6ab} = \frac{3(a + 4b)}{2 \cdot 3 \cdot ab}$

Теперь сократим общий множитель 3:

$\frac{\cancel{3}(a + 4b)}{2 \cdot \cancel{3} \cdot ab} = \frac{a + 4b}{2ab}$

Ответ: $\frac{a + 4b}{2ab}$

б) $\frac{15b - 20c}{10b}$

В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки: $15b - 20c = 5(3b - 4c)$. В знаменателе вынесем множитель 5: $10b = 2 \cdot 5 \cdot b$. Получим дробь:

$\frac{5(3b - 4c)}{10b} = \frac{5(3b - 4c)}{2 \cdot 5 \cdot b}$

Сократим общий множитель 5:

$\frac{\cancel{5}(3b - 4c)}{2 \cdot \cancel{5} \cdot b} = \frac{3b - 4c}{2b}$

Ответ: $\frac{3b - 4c}{2b}$

в) $\frac{2a - 4}{3(a - 2)}$

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a - 4 = 2(a - 2)$. Знаменатель уже разложен на множители. Получим дробь:

$\frac{2(a - 2)}{3(a - 2)}$

Сократим общий множитель $(a - 2)$:

$\frac{2\cancel{(a - 2)}}{3\cancel{(a - 2)}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) $\frac{5x(y + 2)}{6y + 12}$

Числитель уже разложен на множители. В знаменателе вынесем общий множитель 6 за скобки: $6y + 12 = 6(y + 2)$. Получим дробь:

$\frac{5x(y + 2)}{6(y + 2)}$

Сократим общий множитель $(y + 2)$:

$\frac{5x\cancel{(y + 2)}}{6\cancel{(y + 2)}} = \frac{5x}{6}$

Ответ: $\frac{5x}{6}$

д) $\frac{a - 3b}{a^2 - 3ab}$

Числитель не раскладывается на множители. В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 - 3ab = a(a - 3b)$. Получим дробь:

$\frac{a - 3b}{a(a - 3b)}$

Сократим общий множитель $(a - 3b)$:

$\frac{\cancel{(a - 3b)}}{a\cancel{(a - 3b)}} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

е) $\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y}$

В числителе вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x^2 + 15xy = 3x(x + 5y)$. Знаменатель не раскладывается на множители. Получим дробь:

$\frac{3x(x + 5y)}{x + 5y}$

Сократим общий множитель $(x + 5y)$:

$\frac{3x\cancel{(x + 5y)}}{\cancel{(x + 5y)}} = 3x$

Ответ: $3x$

32. Сократите дробь:

a) y²-163y+12;

б) 5x-15yx²-9y²;

в) (c+2)²7c²+14c;

г) 6cd-18c(d-3)².

д) a²+10a+25a²-25;

е) y²-9y²-6y+9.

a) $\frac{y^2-16}{3y+12}=\frac{\left(y-4\right)\left(y+4\right)}{3\left(y+4\right)}=\frac{y-4}{3};$

б) $\frac{5x-15y}{x^2-9y^2}=\frac{5\left(x-3y\right)}{\left(x-3y\right)\left(x+3y\right)}=\frac{5}{x+3y};$

в) $\frac{{\left(c+2\right)}^2}{7c^2+14c}=\frac{{\left(c+2\right)}^2}{7c\left(c+2\right)}=\frac{c+2}{7c};$

г) $\frac{6cd-18c}{{\left(d-3\right)}^2}=\frac{6c\left(d-3\right)}{{\left(d-3\right)}^2}=\frac{6c}{d-3};$

д) $\frac{a^2+10a+25}{a^2-25}=\frac{{\left(a+5\right)}^2}{\left(a-5\right)\left(a+5\right)}=\frac{a+5}{a-5};$

е) $\frac{y^2-9}{y^2-6y+9}=\frac{\left(y-3\right)\left(y+3\right)}{{\left(y-3\right)}^2}=\frac{y+3}{y-3}$

а) Для сокращения дроби $\frac{y^2-16}{3y+12}$ необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.
Числитель $y^2-16$ является разностью квадратов. Применяя формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $y^2-16 = y^2-4^2 = (y-4)(y+4)$.
В знаменателе $3y+12$ выносим общий множитель 3 за скобки: $3y+12 = 3(y+4)$.
Подставляем разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)}$.
Сокращаем общий множитель $(y+4)$ в числителе и знаменателе: $\frac{(y-4)\cancel{(y+4)}}{3\cancel{(y+4)}} = \frac{y-4}{3}$.
Ответ: $\frac{y-4}{3}$.

б) Для сокращения дроби $\frac{5x-15y}{x^2-9y^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе $5x-15y$ выносим общий множитель 5 за скобки: $5x-15y = 5(x-3y)$.
Знаменатель $x^2-9y^2$ является разностью квадратов $x^2-(3y)^2$. Раскладываем по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2-9y^2 = (x-3y)(x+3y)$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{5(x-3y)}{(x-3y)(x+3y)}$.
Сокращаем общий множитель $(x-3y)$: $\frac{5\cancel{(x-3y)}}{\cancel{(x-3y)}(x+3y)} = \frac{5}{x+3y}$.
Ответ: $\frac{5}{x+3y}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{(c+2)^2}{7c^2+14c}$. Числитель уже разложен на множители. Разложим знаменатель.
В знаменателе $7c^2+14c$ выносим общий множитель $7c$ за скобки: $7c^2+14c = 7c(c+2)$.
Запишем дробь с разложенным знаменателем: $\frac{(c+2)^2}{7c(c+2)} = \frac{(c+2)(c+2)}{7c(c+2)}$.
Сокращаем общий множитель $(c+2)$: $\frac{(c+2)\cancel{(c+2)}}{7c\cancel{(c+2)}} = \frac{c+2}{7c}$.
Ответ: $\frac{c+2}{7c}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{6cd-18c}{(d-3)^2}$. Знаменатель уже разложен на множители. Разложим числитель.
В числителе $6cd-18c$ выносим общий множитель $6c$ за скобки: $6cd-18c = 6c(d-3)$.
Запишем дробь с разложенным числителем: $\frac{6c(d-3)}{(d-3)^2} = \frac{6c(d-3)}{(d-3)(d-3)}$.
Сокращаем общий множитель $(d-3)$: $\frac{6c\cancel{(d-3)}}{(d-3)\cancel{(d-3)}} = \frac{6c}{d-3}$.
Ответ: $\frac{6c}{d-3}$.

д) Для сокращения дроби $\frac{a^2+10a+25}{a^2-25}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a^2+10a+25$ является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$: $a^2+10a+25 = a^2+2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a+5)^2$.
Знаменатель $a^2-25$ является разностью квадратов. Используем формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2-25 = a^2-5^2 = (a-5)(a+5)$.
Подставляем разложенные выражения в дробь: $\frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{(a+5)(a+5)}{(a-5)(a+5)}$.
Сокращаем общий множитель $(a+5)$: $\frac{(a+5)\cancel{(a+5)}}{(a-5)\cancel{(a+5)}} = \frac{a+5}{a-5}$.
Ответ: $\frac{a+5}{a-5}$.

е) Для сокращения дроби $\frac{y^2-9}{y^2-6y+9}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $y^2-9$ является разностью квадратов. Раскладываем по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $y^2-9 = y^2-3^2 = (y-3)(y+3)$.
Знаменатель $y^2-6y+9$ является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$: $y^2-6y+9 = y^2-2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y-3)^2$.
Подставляем разложенные выражения в дробь: $\frac{(y-3)(y+3)}{(y-3)^2} = \frac{(y-3)(y+3)}{(y-3)(y-3)}$.
Сокращаем общий множитель $(y-3)$: $\frac{\cancel{(y-3)}(y+3)}{(y-3)\cancel{(y-3)}} = \frac{y+3}{y-3}$.
Ответ: $\frac{y+3}{y-3}$.

33. Сократите дробь:

a) a²-ab+b²a³+b³;

б) a³-b³a-b;

в) (a+b)³a³+b³;

г) a³-b³a²-b².

a) $\frac{a^2-ab+b^3}{a^3+b^3}=\frac{a^2-ab+b^3}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}=\frac{1}{a+b};$

б) $\frac{a^3-b^3}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a-b}=a^2+ab+b^2;$

в) $\frac{{\left(a+b\right)}^3}{a^3+b^3}=\frac{{\left(a+b\right)}^3}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}=\frac{{\left(a+b\right)}^2}{a^2-ab+b^2};$

г) $\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}$, необходимо разложить знаменатель на множители. Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим разложенное выражение в знаменатель дроби:
$\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3} = \frac{a^2 - ab + b^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
Теперь можно сократить общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{(a + b)(\cancel{a^2 - ab + b^2})} = \frac{1}{a + b}$
Ответ: $\frac{1}{a+b}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - b^3}{a - b}$, разложим числитель на множители, используя формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим разложенное выражение в числитель дроби:
$\frac{a^3 - b^3}{a - b} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}$
Сократим общий множитель $(a - b)$:
$\frac{(\cancel{a - b})(a^2 + ab + b^2)}{\cancel{a - b}} = a^2 + ab + b^2$
Ответ: $a^2 + ab + b^2$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3}$, разложим знаменатель на множители по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Числитель можно представить как $(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3} = \frac{(a + b)(a + b)^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
Сократим общий множитель $(a + b)$:
$\frac{(\cancel{a + b})(a + b)^2}{(\cancel{a + b})(a^2 - ab + b^2)} = \frac{(a + b)^2}{a^2 - ab + b^2}$
Ответ: $\frac{(a+b)^2}{a^2 - ab + b^2}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2}$, разложим на множители и числитель, и знаменатель. Для числителя используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Для знаменателя используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a + b)}$
Сократим общий множитель $(a - b)$:
$\frac{(\cancel{a - b})(a^2 + ab + b^2)}{(\cancel{a - b})(a + b)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$
Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$.