Номер 31, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 31, страница 14.

31. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:

a) 3a+12b6ab;

б) 15b-20c10b;

в) 2a-43(a-2);

г) 5x(y+2)6y+12;

д) a-3ba²-3ab;

е) 3x²+15xyx+5y.

a) $\frac{3a+12b}{6ab}=\frac{3\left(a+4b\right)}{6ab}=\frac{a+4b}{2ab};$

б) $\frac{15b-20c}{10b}=\frac{5\left(3b-4c\right)}{10b}=\frac{3b-4c}{2b};$

в) $\frac{2a-4}{3\left(a-2\right)}=\frac{2\left(a-2\right)}{3\left(a-2\right)}=\frac{2}{3};$

г) $\frac{5x\left(y+2\right)}{6y+12}=\frac{5x\left(y+2\right)}{6\left(y+2\right)}=\frac{5x}{6};$

д) $\frac{a-3b}{a^2-3ab}=\frac{a-3b}{a\left(a-3b\right)}=\frac{1}{a};$

е) $\frac{3x^2+15xy}{x+5y}=\frac{3x\left(x+5y\right)}{x+5y}=3x$

а) $\frac{3a + 12b}{6ab}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3a + 12b = 3(a + 4b)$. Знаменатель $6ab$ можно представить в виде произведения $2 \cdot 3 \cdot ab$. Получим дробь:

$\frac{3(a + 4b)}{6ab} = \frac{3(a + 4b)}{2 \cdot 3 \cdot ab}$

Теперь сократим общий множитель 3:

$\frac{\cancel{3}(a + 4b)}{2 \cdot \cancel{3} \cdot ab} = \frac{a + 4b}{2ab}$

Ответ: $\frac{a + 4b}{2ab}$

б) $\frac{15b - 20c}{10b}$

В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки: $15b - 20c = 5(3b - 4c)$. В знаменателе вынесем множитель 5: $10b = 2 \cdot 5 \cdot b$. Получим дробь:

$\frac{5(3b - 4c)}{10b} = \frac{5(3b - 4c)}{2 \cdot 5 \cdot b}$

Сократим общий множитель 5:

$\frac{\cancel{5}(3b - 4c)}{2 \cdot \cancel{5} \cdot b} = \frac{3b - 4c}{2b}$

Ответ: $\frac{3b - 4c}{2b}$

в) $\frac{2a - 4}{3(a - 2)}$

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a - 4 = 2(a - 2)$. Знаменатель уже разложен на множители. Получим дробь:

$\frac{2(a - 2)}{3(a - 2)}$

Сократим общий множитель $(a - 2)$:

$\frac{2\cancel{(a - 2)}}{3\cancel{(a - 2)}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) $\frac{5x(y + 2)}{6y + 12}$

Числитель уже разложен на множители. В знаменателе вынесем общий множитель 6 за скобки: $6y + 12 = 6(y + 2)$. Получим дробь:

$\frac{5x(y + 2)}{6(y + 2)}$

Сократим общий множитель $(y + 2)$:

$\frac{5x\cancel{(y + 2)}}{6\cancel{(y + 2)}} = \frac{5x}{6}$

Ответ: $\frac{5x}{6}$

д) $\frac{a - 3b}{a^2 - 3ab}$

Числитель не раскладывается на множители. В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 - 3ab = a(a - 3b)$. Получим дробь:

$\frac{a - 3b}{a(a - 3b)}$

Сократим общий множитель $(a - 3b)$:

$\frac{\cancel{(a - 3b)}}{a\cancel{(a - 3b)}} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

е) $\frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y}$

В числителе вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x^2 + 15xy = 3x(x + 5y)$. Знаменатель не раскладывается на множители. Получим дробь:

$\frac{3x(x + 5y)}{x + 5y}$

Сократим общий множитель $(x + 5y)$:

$\frac{3x\cancel{(x + 5y)}}{\cancel{(x + 5y)}} = 3x$

Ответ: $3x$