Номер 34, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 34, страница 15.

34. Найдите значение дроби:

a) 15a² - 10ab3ab - 2b² при a = –2, b = –0,1;

б) 9c² - 4d²18c²d - 12cd² при c =23, d =12;

в) 6x² + 12xy5xy + 10y² при x =23, y = –0,4;

г) x²+6xy+9y²4x²+12xy при x = –0,2, y = –0,6.

a) $\frac{15a^2-10ab}{3ab-2b^2}=\frac{5a\left(3a-2b\right)}{b\left(3a-2b\right)}=\frac{5a}{b}$

при a=-2; b=-0,1; $\frac{5·\left(-2\right)}{-0,1}=\frac{-10}{-0,1}=100$

б) $\frac{9c^2-4d^2}{18c^{2}d-12c{d}^2}=\frac{\left(3c-2d\right)\left(3c+2d\right)}{6cd\left(3c-2d\right)}=\frac{3c+2d}{6cd}$

при $\mathit{c}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{;}\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

$\frac{3·{\displaystyle \frac{2}{3}}+2·{\displaystyle \frac{1}{2}}}{6·{\displaystyle \frac{2}{3}}·{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=1,5$

в) $\frac{6x^2+12xy}{5xy+10y^2}=\frac{6x\left(x+2y\right)}{5y\left(x+2y\right)}=\frac{6x}{5y}$

при $\mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{;}$ y=-0,4;

$\frac{6·{\displaystyle \frac{2}{3}}}{5·\left(-0,4\right)}=\frac{4}{-2}=-2$

г) $\frac{x^2+6xy+9y^2}{4x^2+12xy}=\frac{{\left(x+3y\right)}^2}{4x\left(x+3y\right)}=\frac{x+3y}{4x}$

при x=-0,2; y=-0,6;

$$\begin{gathered} \frac{-0,2+3·\left(-0,6\right)}{4·\left(-0,2\right)}=\frac{-0,2-1,8}{-0,8}=\frac{-2}{-0,8}= \\ =\frac{20}{8}=\frac{5}{2}=2,5 \end{gathered}$$

а)

Дана дробь $\frac{15a^2-10ab}{3ab-2b^2}$ при $a = -2, b = -0,1$.

Сначала упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $5a$:
$15a^2-10ab = 5a(3a-2b)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b$:
$3ab-2b^2 = b(3a-2b)$.

Теперь дробь выглядит так:
$\frac{5a(3a-2b)}{b(3a-2b)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3a-2b)$, при условии, что он не равен нулю. Проверим: $3(-2) - 2(-0,1) = -6 + 0,2 = -5,8 \neq 0$.
После сокращения получаем:
$\frac{5a}{b}$.

Подставим значения $a = -2$ и $b = -0,1$ в упрощенное выражение:
$\frac{5 \cdot (-2)}{-0,1} = \frac{-10}{-0,1} = 100$.

Ответ: $100$.

б)

Дана дробь $\frac{9c^2-4d^2}{18c^2d-12cd^2}$ при $c = \frac{2}{3}, d = \frac{1}{2}$.

Упростим выражение. Числитель представляет собой разность квадратов:
$9c^2-4d^2 = (3c)^2 - (2d)^2 = (3c-2d)(3c+2d)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $6cd$:
$18c^2d-12cd^2 = 6cd(3c-2d)$.

Получаем дробь:
$\frac{(3c-2d)(3c+2d)}{6cd(3c-2d)}$.

Сократим на общий множитель $(3c-2d)$, убедившись, что он не равен нулю. Проверим: $3(\frac{2}{3}) - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1 \neq 0$.
Упрощенное выражение:
$\frac{3c+2d}{6cd}$.

Подставим значения $c = \frac{2}{3}$ и $d = \frac{1}{2}$:
$\frac{3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2}}{6 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

в)

Дана дробь $\frac{6x^2+12xy}{5xy+10y^2}$ при $x = \frac{2}{3}, y = -0,4$.

Упростим дробь, вынеся общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе общий множитель $6x$:
$6x^2+12xy = 6x(x+2y)$.

В знаменателе общий множитель $5y$:
$5xy+10y^2 = 5y(x+2y)$.

Дробь принимает вид:
$\frac{6x(x+2y)}{5y(x+2y)}$.

Сократим на $(x+2y)$, предварительно проверив, что он не равен нулю. Преобразуем $y = -0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.
$x+2y = \frac{2}{3} + 2(-\frac{2}{5}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{10-12}{15} = -\frac{2}{15} \neq 0$.
После сокращения получаем:
$\frac{6x}{5y}$.

Подставим значения $x = \frac{2}{3}$ и $y = -0,4$:
$\frac{6 \cdot \frac{2}{3}}{5 \cdot (-0,4)} = \frac{4}{-2} = -2$.

Ответ: $-2$.

г)

Дана дробь $\frac{x^2+6xy+9y^2}{4x^2+12xy}$ при $x = -0,2, y = -0,6$.

Упростим выражение. Числитель является полным квадратом суммы:
$x^2+6xy+9y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x+3y)^2$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $4x$:
$4x^2+12xy = 4x(x+3y)$.

Дробь принимает вид:
$\frac{(x+3y)^2}{4x(x+3y)}$.

Сократим на общий множитель $(x+3y)$, проверив, что он не равен нулю:
$x+3y = -0,2 + 3(-0,6) = -0,2 - 1,8 = -2 \neq 0$.
После сокращения получаем:
$\frac{x+3y}{4x}$.

Подставим значения $x = -0,2$ и $y = -0,6$:
$\frac{-0,2+3(-0,6)}{4(-0,2)} = \frac{-0,2-1,8}{-0,8} = \frac{-2}{-0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: $2,5$.