Номер 37, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 37, страница 15.

37. Сократите дробь:

a) 2x + bx - 2y-by7x - 7y;

б) 8a + 4b2ab + b² - 2ad - bd;

в) xy - x + y - y²x² - y²;

г) a² + 2ac + c²a² + ac - ax - cx.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2x+bx-2y-by}{7x-7y}=\frac{(2x-2y)+(bx-by)}{7(x-y)}= \\ =\frac{2(x-y)+b(x-y)}{7(x-y)}=\frac{(x-y)(2+b)}{7(x-y)}=\frac{2+b}{7}; \end{gathered}$$

б) $\frac{8a+4b}{2ab+b^2-2ad-bd}=\frac{4(2a+b)}{(2ab-2ad)+(b^2-bd)}=$
$=\frac{4(2a+b)}{2a(b-d)+b(b-d)}=\frac{4(2a+b)}{(b-d)(2a+b)}=\frac{4}{b-d};$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{xy-x+y-y^2}{x^2-y^2}=\frac{(xy-x)(y-y^2)}{(x-y)(x+y)}= \\ =\frac{x(y-1)+y(1-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{x(y-1)-y(y-1)}{(x-y)(x+y)}= \\ =\frac{(y-1)(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{y-1}{x+y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a^2+2ac+c^2}{a^2+ac-ax-cx}=\frac{{(a+c)}^2}{(a^2+ac)-(ax+cx)}= \\ =\frac{{(a+c)}^2}{a(a+c)-x(a+c)}=\frac{{(a+c)}^2}{(a+c)(a-x)}=\frac{a+c}{a-x} \end{gathered}$$

а)

Для того чтобы сократить дробь $\frac{2x + bx - 2y - by}{7x - 7y}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $2x + bx - 2y - by$ методом группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители:

$(2x + bx) - (2y + by)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x(2 + b) - y(2 + b)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2 + b)$:

$(x - y)(2 + b)$

2. Разложим на множители знаменатель $7x - 7y$. Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7(x - y)$

3. Подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(x - y)$:

$\frac{(x - y)(2 + b)}{7(x - y)} = \frac{2 + b}{7}$

Ответ: $\frac{2 + b}{7}$

б)

Сократим дробь $\frac{8a + 4b}{2ab + b^2 - 2ad - bd}$.

1. В числителе $8a + 4b$ вынесем за скобки общий множитель 4:

$4(2a + b)$

2. В знаменателе $2ab + b^2 - 2ad - bd$ применим метод группировки:

$(2ab + b^2) - (2ad + bd)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$b(2a + b) - d(2a + b)$

Вынесем общий множитель $(2a + b)$:

$(b - d)(2a + b)$

3. Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем и сократим общий множитель $(2a + b)$:

$\frac{4(2a + b)}{(b - d)(2a + b)} = \frac{4}{b - d}$

Ответ: $\frac{4}{b - d}$

в)

Сократим дробь $\frac{xy - x + y - y^2}{x^2 - y^2}$.

1. Разложим на множители числитель $xy - x + y - y^2$ методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(xy - x) + (y - y^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(y - 1) + y(1 - y) = x(y - 1) - y(y - 1)$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$:

$(x - y)(y - 1)$

2. Знаменатель $x^2 - y^2$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на $(x - y)$:

$\frac{(x - y)(y - 1)}{(x - y)(x + y)} = \frac{y - 1}{x + y}$

Ответ: $\frac{y - 1}{x + y}$

г)

Сократим дробь $\frac{a^2 + 2ac + c^2}{a^2 + ac - ax - cx}$.

1. Числитель $a^2 + 2ac + c^2$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$a^2 + 2ac + c^2 = (a + c)^2$

2. Знаменатель $a^2 + ac - ax - cx$ разложим на множители методом группировки:

$(a^2 + ac) - (ax + cx)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a + c) - x(a + c)$

Вынесем общий множитель $(a + c)$:

$(a - x)(a + c)$

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(a + c)$:

$\frac{(a + c)^2}{(a - x)(a + c)} = \frac{a + c}{a - x}$

Ответ: $\frac{a + c}{a - x}$