Номер 42, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 42, страница 17.

42. Сократите дробь:

a) a(x - 2y)b(2y - x);

б) 5x(x - y)x³(y - x);

в) 3a - 3612b - ab;

г) 7b - 14b²42b² - 21b.

д) 25 - a²3a - 15;

е) 3 - 3xx² - 2x + 1;

ж) 8b² - 8a²a² - 2ab + b²;

з) (b - 2)³(2 - b)².

a) $\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)}=\frac{a(x-2y)}{-b(x-2y)}=-\frac{a}{b};$

б) $\frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)}=\frac{5x(x-y)}{-x^3(x-y)}=-\frac{5}{x^2};$

в) $\frac{3a-36}{12b-ab}=\frac{3(a-12)}{b(12-a)}=\frac{3(a-12)}{-b(a-12)}=-\frac{3}{b};$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{7b-14b^2}{42b^2-21b}=\frac{7b(1-2b)}{21b(2b-1)}=\frac{1-2b}{3(2b-1)}= \\ =\frac{-(2b-1)}{3(2b-1)}=-\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{25-a^2}{3a-15}=\frac{(5-a)(5+a)}{3(a-5)}=\frac{-(a-5)(a+5)}{3(a-5)}= \\ =-\frac{a+5}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{3-3x}{x^2-2x+1}=\frac{3(1-x)}{{(x-1)}^2}=\frac{3(1-x)}{(-{(1-x))}^2}= \\ =\frac{3(1-x)}{{(1-x)}^2}=\frac{3}{1-x}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{8b^2-8a^2}{a^2-2ab+b^2}=\frac{8(b^2-a^2)}{{(a-b)}^2}=\frac{8(b-a)(b+a)}{{(a-b)}^2}= \\ =\frac{8(b-a)(a+b)}{(-{(b-a))}^2}=\frac{8(b-a)(a+b)}{{(b-a)}^2}=\frac{8(a+b)}{b-a}; \end{gathered}$$

з) $\frac{{(b-2)}^3}{{(2-b)}^2}=\frac{{(b-2)}^3}{(-{(b-2))}^2}=\frac{{(b-2)}^3}{{(b-2)}^2}=b-2$

а) Рассмотрим дробь $\frac{a(x - 2y)}{b(2y - x)}$. Чтобы сократить дробь, необходимо иметь одинаковые множители в числителе и знаменателе. Заметим, что выражения в скобках являются противоположными: $2y - x = -(x - 2y)$.
Подставим это в знаменатель: $\frac{a(x - 2y)}{b \cdot (-(x - 2y))} = \frac{a(x - 2y)}{-b(x - 2y)}$.
Теперь можно сократить общий множитель $(x - 2y)$, при условии что он не равен нулю ($x \neq 2y$).
$\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$.
Ответ: $-\frac{a}{b}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{5x(x - y)}{x^3(y - x)}$. Выражения в скобках являются противоположными: $y - x = -(x - y)$.
Перепишем дробь: $\frac{5x(x - y)}{x^3 \cdot (-(x - y))} = \frac{5x(x - y)}{-x^3(x - y)}$.
Сократим общий множитель $(x - y)$, при условии $x \neq y$.
$\frac{5x}{-x^3}$.
Теперь сократим $x$ в числителе и $x^3$ в знаменателе: $\frac{5}{-x^2} = -\frac{5}{x^2}$.
Ответ: $-\frac{5}{x^2}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{3a - 36}{12b - ab}$. Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $3$: $3a - 36 = 3(a - 12)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b$: $12b - ab = b(12 - a)$.
Дробь примет вид: $\frac{3(a - 12)}{b(12 - a)}$.
Выражения $a - 12$ и $12 - a$ являются противоположными: $a - 12 = -(12 - a)$.
Подставим это в числитель: $\frac{-3(12 - a)}{b(12 - a)}$.
Сократим общий множитель $(12 - a)$: $\frac{-3}{b} = -\frac{3}{b}$.
Ответ: $-\frac{3}{b}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки $7b$: $7b(1 - 2b)$.
В знаменателе вынесем за скобки $21b$: $21b(2b - 1)$.
Дробь примет вид: $\frac{7b(1 - 2b)}{21b(2b - 1)}$.
Выражения в скобках $1 - 2b$ и $2b - 1$ противоположны: $1 - 2b = -(2b - 1)$.
Перепишем дробь: $\frac{-7b(2b - 1)}{21b(2b - 1)}$.
Сократим общие множители $7b$ и $(2b - 1)$: $\frac{-7b}{21b} = -\frac{7}{21} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

д) Рассмотрим дробь $\frac{25 - a^2}{3a - 15}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель является разностью квадратов: $25 - a^2 = (5 - a)(5 + a)$.
В знаменателе вынесем за скобки $3$: $3(a - 5)$.
Дробь примет вид: $\frac{(5 - a)(5 + a)}{3(a - 5)}$.
Выражения $5 - a$ и $a - 5$ противоположны: $5 - a = -(a - 5)$.
Перепишем дробь: $\frac{-(a - 5)(5 + a)}{3(a - 5)}$.
Сократим общий множитель $(a - 5)$: $\frac{-(5 + a)}{3} = -\frac{a+5}{3}$.
Ответ: $-\frac{a+5}{3}$.

е) Рассмотрим дробь $\frac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки $3$: $3(1 - x)$.
Знаменатель является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Дробь примет вид: $\frac{3(1 - x)}{(x - 1)^2}$.
Выражения $1 - x$ и $x - 1$ противоположны: $1 - x = -(x - 1)$.
Перепишем дробь: $\frac{-3(x - 1)}{(x - 1)^2}$.
Сократим дробь на $(x - 1)$: $\frac{-3}{x - 1}$.
Ответ: $\frac{-3}{x - 1}$.

ж) Рассмотрим дробь $\frac{8b^2 - 8a^2}{a^2 - 2ab + b^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем $8$ и применим формулу разности квадратов: $8(b^2 - a^2) = 8(b - a)(b + a)$.
Знаменатель является квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Дробь примет вид: $\frac{8(b - a)(b + a)}{(a - b)^2}$.
Выражения $b - a$ и $a - b$ противоположны: $b - a = -(a - b)$.
Перепишем дробь: $\frac{-8(a - b)(b + a)}{(a - b)^2}$.
Сократим дробь на $(a - b)$: $\frac{-8(b + a)}{a - b}$ или $\frac{-8(a + b)}{a - b}$.
Ответ: $\frac{-8(a + b)}{a - b}$.

з) Рассмотрим дробь $\frac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2}$. Используем свойство, что квадрат числа равен квадрату противоположного ему числа: $(2 - b)^2 = (-(b - 2))^2 = (b - 2)^2$.
Перепишем дробь: $\frac{(b - 2)^3}{(b - 2)^2}$.
Сократим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $(b - 2)^{3-2} = b - 2$.
Ответ: $b - 2$.