Номер 45, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 45, страница 17.

45. Найдите значение выражения:

a) a⁸ + a⁵a⁵ + a² при a = -12;

б) b¹⁰ + b⁸b⁸ + b⁶ при b = -0,1.

a) $\frac{a^8+a^5}{a^5+a^2}=\frac{a^5(a^3+1)}{a^2(a^3+1)}=a^3$
при $\mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{;} {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{8}$

б) $\frac{b^{10}-b^8}{b^8-b^6}=\frac{b^8(b^2-1)}{b^6(b^2-1)}=b^2$
при $\mathit{b}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{;} {\left(-0,1\right)}^2=0,01$

а)

Для нахождения значения выражения $\frac{a^8 + a^5}{a^5 + a^2}$ при $a = -\frac{1}{2}$ сначала упростим его.

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это $a^5$, а в знаменателе $a^2$.

Числитель: $a^8 + a^5 = a^5(a^{8-5} + a^{5-5}) = a^5(a^3 + 1)$.

Знаменатель: $a^5 + a^2 = a^2(a^{5-2} + a^{2-2}) = a^2(a^3 + 1)$.

2. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{a^8 + a^5}{a^5 + a^2} = \frac{a^5(a^3 + 1)}{a^2(a^3 + 1)}$.

3. Так как $a = -\frac{1}{2}$, то $a^3+1 = (-\frac{1}{2})^3 + 1 = -\frac{1}{8} + 1 = \frac{7}{8} \neq 0$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a^3 + 1)$.

$\frac{a^5(a^3 + 1)}{a^2(a^3 + 1)} = \frac{a^5}{a^2}$.

4. Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3$.

5. Теперь подставим значение $a = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$a^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

б)

Для нахождения значения выражения $\frac{b^{10} - b^8}{b^8 - b^6}$ при $b = -0,1$ сначала упростим его.

1. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это $b^8$, а в знаменателе $b^6$.

Числитель: $b^{10} - b^8 = b^8(b^{10-8} - b^{8-8}) = b^8(b^2 - 1)$.

Знаменатель: $b^8 - b^6 = b^6(b^{8-6} - b^{6-6}) = b^6(b^2 - 1)$.

2. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{b^{10} - b^8}{b^8 - b^6} = \frac{b^8(b^2 - 1)}{b^6(b^2 - 1)}$.

3. Так как $b = -0,1$, то $b^2-1 = (-0,1)^2 - 1 = 0,01 - 1 = -0,99 \neq 0$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(b^2 - 1)$.

$\frac{b^8(b^2 - 1)}{b^6(b^2 - 1)} = \frac{b^8}{b^6}$.

4. Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{b^8}{b^6} = b^{8-6} = b^2$.

5. Теперь подставим значение $b = -0,1$ в упрощенное выражение:

$b^2 = (-0,1)^2 = 0,01$.

Ответ: $0,01$.