Номер 46, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 46, страница 17.

46. Сократите дробь:

a) (2a - 2b)²a - b;

б) (3c + 9d)²c + 3d;

в) (3x + 6y)²5x + 10y;

г) 4x² - y²(10x + 5y)².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{{(2a-2b)}^2}{a-b}=\frac{(2{(a-b))}^2}{a-b}=\frac{4{(a-b)}^2}{a-b}= \\ =4(a-b)=4a-4b; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{(3c+9d)}^2}{c+3d}=\frac{(3{(c+3d))}^2}{c+3d}=\frac{9{(c+3d)}^2}{c+3d}= \\ =9(c+3d)=9c+27d; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{(3x+6y)}^2}{5x+10y}=\frac{(3{(x+2y))}^2}{5(x+2y)}=\frac{9{(x+2y)}^2}{5(x+2y)}= \\ =\frac{9(x+2y)}{5}=\frac{9x+18y}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{4x^2-y^2}{{(10x+5y)}^2}=\frac{(2x-y)(2x+y)}{(5{(2x+y))}^2}= \\ =\frac{(2x-y)(2x+y)}{25{(2x+y)}^2}=\frac{2x-y}{25(2x+y)}=\frac{2x-y}{50x+25y} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{(2a - 2b)^2}{a - b}$, сначала преобразуем числитель. Вынесем общий множитель 2 за скобки в выражении $(2a - 2b)$: $2a - 2b = 2(a - b)$. Теперь числитель можно записать как $(2(a - b))^2$. Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получаем: $(2(a - b))^2 = 2^2 \cdot (a - b)^2 = 4(a - b)^2$. Подставим преобразованный числитель обратно в дробь: $\frac{4(a - b)^2}{a - b}$. Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(a - b)$, при условии, что $a - b \neq 0$: $\frac{4(a - b)^2}{a - b} = 4(a - b)$. Ответ: $4(a - b)$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{(3c + 9d)^2}{c + 3d}$. В числителе вынесем общий множитель 3 из выражения в скобках: $3c + 9d = 3(c + 3d)$. Тогда числитель примет вид $(3(c + 3d))^2$. Возведем в квадрат: $(3(c + 3d))^2 = 3^2 \cdot (c + 3d)^2 = 9(c + 3d)^2$. Подставим это в исходную дробь: $\frac{9(c + 3d)^2}{c + 3d}$. Сократим дробь на общий множитель $(c + 3d)$, при условии, что $c + 3d \neq 0$: $\frac{9(c + 3d)^2}{c + 3d} = 9(c + 3d)$. Ответ: $9(c + 3d)$.

в) Дана дробь $\frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}$. Для сокращения дроби необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель 3 из выражения в скобках, а затем возведем в квадрат: $(3x + 6y)^2 = (3(x + 2y))^2 = 3^2 (x + 2y)^2 = 9(x + 2y)^2$. В знаменателе вынесем общий множитель 5: $5x + 10y = 5(x + 2y)$. Теперь наша дробь выглядит так: $\frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)}$. Сократим дробь на общий множитель $(x + 2y)$, при условии, что $x + 2y \neq 0$: $\frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)} = \frac{9(x + 2y)}{5}$. Ответ: $\frac{9(x + 2y)}{5}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{4x^2 - y^2}{(10x + 5y)^2}$. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a = 2x$ и $b = y$: $4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$. Теперь преобразуем знаменатель. Сначала вынесем общий множитель 5 из выражения в скобках: $(10x + 5y)^2 = (5(2x + y))^2$. Возведем в квадрат: $(5(2x + y))^2 = 5^2 (2x + y)^2 = 25(2x + y)^2$. Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $\frac{(2x - y)(2x + y)}{25(2x + y)^2}$. Сократим дробь на общий множитель $(2x + y)$, при условии, что $2x + y \neq 0$: $\frac{(2x - y)(2x + y)}{25(2x + y)^2} = \frac{2x - y}{25(2x + y)}$. Ответ: $\frac{2x - y}{25(2x + y)}$.