Номер 51, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 51, страница 18.

51. Приведите дробь:

a) xa - b к знаменателю (a – b)²;

б) yx - a к знаменателю x² – a²;

в) aa - 10 к знаменателю 10 – a;

г) pp - 2 к знаменателю 4 – p²;

д) mnn - m к знаменателю m² – n².

a) $\frac{x}{a-b}=\frac{x(a-b)}{(a-b)(a-b)}=\frac{x(a-b)}{{(a-b)}^2}=\frac{xa-xb}{{(a-b)}^2};$

б) $\frac{y}{x-a}=\frac{y(x+a)}{(x-a)(x+a)}=\frac{xy+ay}{x^2-a^2};$

в) $\frac{a}{a-10}=\frac{a·(-1)}{(a-10)·(-1)}=\frac{-a}{10-a}=-\frac{a}{10-a};$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{p}{p-2}=\frac{p·(-1)}{(p-2)·(-1)}=\frac{-p}{2-p}= \\ =\frac{-p(2+p)}{(2-p)(2+p)}=-\frac{p^2+2p}{4-p^2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{mn}{n-m}=\frac{mn·(-1)}{(n-m)·(-1)}=\frac{-mn}{m-n}= \\ =\frac{-mn·(m+n)}{(m-n)(m+n)}=-\frac{m^{2}n+m{n}^2}{m^2-n^2} \end{gathered}$$

а) Чтобы привести дробь $\frac{x}{a-b}$ к знаменателю $(a-b)^2$, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на старый:
$(a-b)^2 : (a-b) = a-b$.
Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель:
$\frac{x}{a-b} = \frac{x \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{x(a-b)}{(a-b)^2}$.
Ответ: $\frac{x(a-b)}{(a-b)^2}$

б) Чтобы привести дробь $\frac{y}{x-a}$ к знаменателю $x^2-a^2$, сначала разложим новый знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$.
Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый:
$\frac{(x-a)(x+a)}{x-a} = x+a$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(x+a)$:
$\frac{y}{x-a} = \frac{y \cdot (x+a)}{(x-a) \cdot (x+a)} = \frac{y(x+a)}{x^2-a^2}$.
Ответ: $\frac{y(x+a)}{x^2-a^2}$

в) Чтобы привести дробь $\frac{a}{a-10}$ к знаменателю $10-a$, заметим, что новый знаменатель отличается от старого только знаком:
$10-a = -(a-10)$.
Следовательно, дополнительный множитель равен $-1$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $-1$:
$\frac{a}{a-10} = \frac{a \cdot (-1)}{(a-10) \cdot (-1)} = \frac{-a}{-(a-10)} = \frac{-a}{10-a}$.
Ответ: $\frac{-a}{10-a}$

г) Чтобы привести дробь $\frac{p}{p-2}$ к знаменателю $4-p^2$, разложим новый знаменатель на множители по формуле разности квадратов:
$4-p^2 = (2-p)(2+p)$.
Заметим, что множитель $(2-p)$ связан с исходным знаменателем $(p-2)$ соотношением $2-p = -(p-2)$. Перепишем новый знаменатель:
$4-p^2 = -(p-2)(2+p)$.
Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый:
$\frac{-(p-2)(2+p)}{p-2} = -(2+p)$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $-(2+p)$:
$\frac{p}{p-2} = \frac{p \cdot (-(2+p))}{(p-2) \cdot (-(2+p))} = \frac{-p(2+p)}{-(p-2)(2+p)} = \frac{-p(p+2)}{4-p^2}$.
Ответ: $\frac{-p(p+2)}{4-p^2}$

д) Чтобы привести дробь $\frac{mn}{n-m}$ к знаменателю $m^2-n^2$, разложим новый знаменатель на множители:
$m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.
Исходный знаменатель $(n-m)$ связан с множителем $(m-n)$ соотношением $m-n = -(n-m)$. Перепишем новый знаменатель:
$m^2-n^2 = -(n-m)(m+n)$.
Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый:
$\frac{-(n-m)(m+n)}{n-m} = -(m+n)$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $-(m+n)$:
$\frac{mn}{n-m} = \frac{mn \cdot (-(m+n))}{(n-m) \cdot (-(m+n))} = \frac{-mn(m+n)}{-(n-m)(m+n)} = \frac{-mn(m+n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{-mn(m+n)}{m^2-n^2}$.
Ответ: $\frac{-mn(m+n)}{m^2-n^2}$