Номер 4, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 4, страница 18.

4. Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.

4. если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$

Доказательство.

Пусть $\frac{a}{b}=m.$ Тогда по определению частного $a=bm.$ Умножим обе части этого равенства на с:

$ac=\left(bm\right)c.$

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем

$ac=\left(bc\right)m.$

Так как $bc\ne 0,$ то по определению частного

$\frac{ac}{bc}=m.$

Значит,

$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}.$

Формулировка основного свойства дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится.

Для любой дроби $ \frac{a}{b} $ (где $ b \neq 0 $) и любого числа $ n $ (где $ n \neq 0 $) справедливо равенство:

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $

Это свойство также означает, что дробь можно сокращать, то есть делить числитель и знаменатель на их общий делитель $m$:

$ \frac{a}{b} = \frac{a : m}{b : m} $

Ответ: Основное свойство дроби заключается в том, что значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Доказательство основного свойства дроби

Рассмотрим дробь $ \frac{a}{b} $. По определению, дробь является результатом деления $a$ на $b$. Обозначим значение этой дроби через $x$. Тогда справедливо равенство:

$ x = \frac{a}{b} \implies b \cdot x = a $

Нам нужно доказать, что дробь $ \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $ (где $n \neq 0$) также равна $x$.

Умножим обе части равенства $ b \cdot x = a $ на число $n$:

$ (b \cdot x) \cdot n = a \cdot n $

Используя сочетательное свойство умножения (которое гласит, что $ (k \cdot l) \cdot m = k \cdot (l \cdot m) $), перегруппируем множители в левой части равенства:

$ (b \cdot n) \cdot x = a \cdot n $

Полученное равенство $ (b \cdot n) \cdot x = a \cdot n $ по определению деления означает, что $x$ является частным от деления $ (a \cdot n) $ на $ (b \cdot n) $. То есть:

$ x = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $

Поскольку мы исходили из того, что $ x = \frac{a}{b} $, мы приходим к выводу, что:

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $

Таким образом, основное свойство дроби доказано.

Ответ: Свойство $ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $ (при $ b \neq 0, n \neq 0 $) доказано на основе определения дроби как результата деления и свойств операции умножения.