Номер 48, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 48, страница 17.

48. Докажите, что значение дроби не зависит от n , где n — натуральное число:

a) 3ⁿ ⁺ ² - 3ⁿ3ⁿ ⁺ ² + 3ⁿ ⁺ ¹ + 3ⁿ;

б) 16ⁿ ⁺ ¹ - 2ⁿ ⁺ ⁴4 ∙ 2ⁿ(2³ⁿ - 1);

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{3^{n+2}-3^n}{3^{n+2}+3^{n+1}+3^n}=\frac{3^n(3^2-1)}{3^n(3^2+3+1)}= \\ =\frac{9-1}{9+3+1}=\frac{8}{13} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{16}^{n+1}-2^{n+4}}{4·2^n(2^{3n}-1)}=\frac{{\left(2^4\right)}^{n+1}-2^{n+4}}{2^2·2^n(2^{3n}-1)}= \\ =\frac{2^{4n+4}-2^{n+4}}{2^{n+2}(2^{3n}-1)}=\frac{2^{n+4}(2^{3n}-1)}{2^{n+2}(2^{3n}-1)}= \\ =\frac{2^{n+4}}{2^{n+2}}=2^{n+4-n-2}=2^2=4 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение дроби не зависит от n, упростим данное выражение, используя свойства степеней, в частности, вынесение общего множителя за скобки.

Исходная дробь: $ \frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n} $

Преобразуем числитель, используя свойство $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Вынесем за скобки общий множитель $3^n$:

$3^{n+2} - 3^n = 3^n \cdot 3^2 - 3^n \cdot 1 = 3^n(3^2 - 1) = 3^n(9 - 1) = 8 \cdot 3^n$

Преобразуем знаменатель. Аналогично вынесем за скобки общий множитель $3^n$:

$3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n = 3^n \cdot 3^2 + 3^n \cdot 3^1 + 3^n \cdot 1 = 3^n(3^2 + 3 + 1) = 3^n(9 + 3 + 1) = 13 \cdot 3^n$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{8 \cdot 3^n}{13 \cdot 3^n} $

Поскольку n — натуральное число, $3^n \ne 0$, поэтому мы можем сократить дробь на $3^n$:

$ \frac{8}{13} $

Полученное значение является константой и не зависит от n, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{8}{13} $

б) Для доказательства упростим второе выражение. Для этого приведем все степени к одному основанию 2, используя свойства $ (a^m)^k = a^{mk} $ и $ a^{m+k} = a^m \cdot a^k $.

Исходная дробь: $ \frac{16^{n+1} - 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n(2^{3n} - 1)} $

Преобразуем числитель. Заметим, что $16 = 2^4$.

$16^{n+1} - 2^{n+4} = (2^4)^{n+1} - 2^{n+4} = 2^{4(n+1)} - 2^{n+4} = 2^{4n+4} - 2^{n+4}$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{n+4}$:

$2^{4n+4} - 2^{n+4} = 2^{3n} \cdot 2^{n+4} - 1 \cdot 2^{n+4} = 2^{n+4}(2^{3n} - 1)$

Преобразуем знаменатель. Заметим, что $4 = 2^2$.

$4 \cdot 2^n(2^{3n} - 1) = 2^2 \cdot 2^n(2^{3n} - 1) = 2^{n+2}(2^{3n} - 1)$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$ \frac{2^{n+4}(2^{3n} - 1)}{2^{n+2}(2^{3n} - 1)} $

Поскольку n — натуральное число, то $n \ge 1$, и выражение $2^{3n} - 1 \ne 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $(2^{3n} - 1)$:

$ \frac{2^{n+4}}{2^{n+2}} $

Используем свойство степеней $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $:

$ 2^{(n+4) - (n+2)} = 2^{n+4-n-2} = 2^2 = 4 $

Полученное значение равно 4, является константой и не зависит от n, что и требовалось доказать.

Ответ: $4$