Номер 43, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 43, страница 17.

43. Сократите дробь:

a) ax + bx - ay - bybx - by;

б) ab - 3b - 2a + 615 - 5a;

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{ax+bx-ay-by}{bx-by}=\frac{(ax+bx)-(ay+by)}{b(x-y)}= \\ =\frac{x(a+b)-y(a+b)}{b(x-y)}=\frac{(a+b)(x-y)}{b(x-y)}=\frac{a+b}{b}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{ab-3b-2a+6}{15-5a}=\frac{(ab-3b)-(2a-6)}{5(3-a)}= \\ =\frac{b(a-3)-2(a-3)}{-5(a-3)}=\frac{(a-3)(b-2)}{-5(a-3)}= \\ =-\frac{b-2}{5}=\frac{2-b}{5} \end{gathered}$$

а) $\frac{ax + bx - ay - by}{bx - by}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $ax + bx - ay - by$. Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки. Способ группировки: $(ax + bx) - (ay + by)$.
Выносим $x$ из первой группы и $y$ из второй:
$x(a + b) - y(a + b)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:
$(a + b)(x - y)$.

2. Разложим на множители знаменатель $bx - by$. Вынесем общий множитель $b$ за скобки:
$bx - by = b(x - y)$.

3. Подставим полученные разложения обратно в дробь:
$\frac{(a + b)(x - y)}{b(x - y)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$, при условии, что $x - y \neq 0$ (т.е. $x \neq y$):
$\frac{(a + b)\cancel{(x - y)}}{b\cancel{(x - y)}} = \frac{a + b}{b}$.

Ответ: $\frac{a + b}{b}$.

---

б) $\frac{ab - 3b - 2a + 6}{15 - 5a}$

Аналогично предыдущему пункту, разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель $ab - 3b - 2a + 6$. Сгруппируем слагаемые: $(ab - 3b) - (2a - 6)$. Обратите внимание на смену знака у 6 при вынесении минуса за скобку.
Выносим общие множители из каждой группы: $b(a - 3) - 2(a - 3)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a - 3)$ за скобки:
$(a - 3)(b - 2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $15 - 5a$. Вынесем общий множитель $5$ за скобки:
$15 - 5a = 5(3 - a)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(a - 3)(b - 2)}{5(3 - a)}$.

4. Заметим, что выражения $(a - 3)$ и $(3 - a)$ являются противоположными, то есть $(3 - a) = -(a - 3)$. Преобразуем знаменатель:
$5(3 - a) = 5 \cdot (-(a - 3)) = -5(a - 3)$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{(a - 3)(b - 2)}{-5(a - 3)}$.

5. Сократим дробь на общий множитель $(a - 3)$, при условии, что $a - 3 \neq 0$ (т.е. $a \neq 3$):
$\frac{\cancel{(a - 3)}(b - 2)}{-5\cancel{(a - 3)}} = \frac{b - 2}{-5}$.

Чтобы избавиться от знака минус в знаменателе, можно вынести его перед всей дробью или поменять знаки в числителе:
$\frac{b - 2}{-5} = -\frac{b - 2}{5} = \frac{-(b - 2)}{5} = \frac{2 - b}{5}$.

Ответ: $\frac{2 - b}{5}$.