Номер 38, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 38, страница 15.

38. (Для работы в парах.) Постройте график функции:

a) y =x² - 252x+10;

б) y =x³ - 9xx² - 9;

1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков?

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки.

a) $y=\frac{x^2-25}{2x+10};$ $y=\frac{(x-5)(x+5)}{2(x+5)};$

$y=\frac{x-5}{2};$ $y=\frac{x}{2}-\frac{5}{2} \text{-линейная функция}$
при условии, что $$\begin{gathered} 2x+10\ne 0; \\ 2x\ne -10; \\ x\ne -5 \end{gathered}$$

Область определения линейной функции $y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$- все числа, кроме x=-5

x	1	5
y	-2	0

б) $y=\frac{x^3-9x}{x^2-9};$ $y=\frac{x(x^2-9)}{x^2-9};$ $y=x$ - прямая пропорциональность при условии, что $$\begin{gathered} x^2-9\ne 0; \\ x-3\ne 0 \\ x\ne 3 \end{gathered}$$ или $$\begin{gathered} (x-3)(x+3)\ne 0 \\ x+3\ne 0 \\ x\ne -3 \end{gathered}$$

Область определения функции y=x - все числа, кроме x=3 и x=-3

x	0	2
y	0	2

а)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$2x + 10 \neq 0$
$2x \neq -10$
$x \neq -5$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
В знаменателе вынесем общий множитель за скобки: $2x + 10 = 2(x + 5)$.
Получаем: $y = \frac{(x - 5)(x + 5)}{2(x + 5)}$.

3. При условии, что $x \neq -5$ (согласно ОДЗ), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+5)$:
$y = \frac{x - 5}{2}$ или $y = 0.5x - 2.5$.

4. Полученная функция $y = 0.5x - 2.5$ является линейной. Ее график — это прямая линия. Однако исходная функция не определена в точке $x = -5$. Это означает, что на графике будет "выколотая" точка (точка разрыва). Найдем ее координаты, подставив значение $x = -5$ в упрощенное выражение для функции:
$y(-5) = 0.5 \cdot (-5) - 2.5 = -2.5 - 2.5 = -5$.
Следовательно, точка с координатами $(-5; -5)$ не принадлежит графику.

5. Для построения графика прямой $y = 0.5x - 2.5$ найдем координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой:
- при $x = 0$, $y = 0.5 \cdot 0 - 2.5 = -2.5$. Точка $(0; -2.5)$.
- при $y = 0$, $0 = 0.5x - 2.5 \implies 0.5x=2.5 \implies x = 5$. Точка $(5; 0)$.

Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; -2.5)$ и $(5; 0)$, с выколотой точкой $(-5; -5)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^2 - 25}{2x + 10}$ является прямая $y = 0.5x - 2.5$ с выколотой точкой $(-5; -5)$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0$
$(x - 3)(x + 3) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)$.
Знаменатель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Получаем: $y = \frac{x(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}$.

3. При условии, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на общие множители $(x - 3)$ и $(x + 3)$:
$y = x$.

4. Полученная функция $y = x$ является линейной. Ее график — прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Исходная функция не определена в точках $x = 3$ и $x = -3$. Значит, на графике будут две выколотые точки. Найдем их координаты, подставив соответствующие значения $x$ в упрощенную функцию $y=x$:
- при $x = 3$, $y = 3$. Координаты первой выколотой точки: $(3; 3)$.
- при $x = -3$, $y = -3$. Координаты второй выколотой точки: $(-3; -3)$.

5. Графиком функции является прямая $y=x$ с выколотыми точками $(3; 3)$ и $(-3; -3)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 9}$ является прямая $y = x$ с выколотыми точками $(3; 3)$ и $(-3; -3)$.

1)

Общей особенностью дробей, задающих функции в заданиях а) и б), является то, что они являются сократимыми. Это означает, что после разложения числителя и знаменателя на множители у них обнаруживаются общие множители, на которые можно сократить дробь.

Эту особенность при построении графиков необходимо учитывать следующим образом:
1. В первую очередь необходимо найти область определения исходной функции (ОДЗ), то есть исключить те значения аргумента $x$, при которых знаменатель дроби обращается в ноль.
2. Далее следует выполнить упрощение (сокращение) дроби. В результате получается более простая функция, график которой легко построить (в данных примерах — линейная).
3. График исходной функции будет совпадать с графиком упрощенной функции во всех точках, кроме тех, которые были исключены из области определения.
4. В этих исключенных точках на графике образуются "дыры", которые называют "выколотыми точками" или точками устранимого разрыва. Чтобы найти координаты этих точек, нужно подставить исключенные значения $x$ в выражение для упрощенной функции.

Таким образом, наличие общих множителей у числителя и знаменателя приводит к тому, что график функции имеет точки разрыва, которые изображаются в виде пустых кружочков на сплошной линии графика упрощенной функции.

Ответ: Общая особенность дробей — они сократимы, так как числитель и знаменатель имеют общие множители. При построении графика это приводит к появлению на нем выколотых точек (точек устранимого разрыва), координаты которых находятся подстановкой запрещенных значений аргумента в упрощенное выражение функции.

2) и 3)

Данные пункты являются организационными указаниями для выполнения задания в парах. Они предполагают, что один учащийся выполняет задание а), второй — задание б), после чего они обмениваются работами для взаимной проверки и исправления ошибок. Подробные решения для обоих заданий, которые можно использовать для выполнения и проверки, представлены выше.