Номер 33, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 33, страница 14.

33. Сократите дробь:

a) a²-ab+b²a³+b³;

б) a³-b³a-b;

в) (a+b)³a³+b³;

г) a³-b³a²-b².

a) $\frac{a^2-ab+b^3}{a^3+b^3}=\frac{a^2-ab+b^3}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}=\frac{1}{a+b};$

б) $\frac{a^3-b^3}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a-b}=a^2+ab+b^2;$

в) $\frac{{\left(a+b\right)}^3}{a^3+b^3}=\frac{{\left(a+b\right)}^3}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}=\frac{{\left(a+b\right)}^2}{a^2-ab+b^2};$

г) $\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}$, необходимо разложить знаменатель на множители. Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим разложенное выражение в знаменатель дроби:
$\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3} = \frac{a^2 - ab + b^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
Теперь можно сократить общий множитель $(a^2 - ab + b^2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{(a + b)(\cancel{a^2 - ab + b^2})} = \frac{1}{a + b}$
Ответ: $\frac{1}{a+b}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - b^3}{a - b}$, разложим числитель на множители, используя формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим разложенное выражение в числитель дроби:
$\frac{a^3 - b^3}{a - b} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}$
Сократим общий множитель $(a - b)$:
$\frac{(\cancel{a - b})(a^2 + ab + b^2)}{\cancel{a - b}} = a^2 + ab + b^2$
Ответ: $a^2 + ab + b^2$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3}$, разложим знаменатель на множители по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Числитель можно представить как $(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3} = \frac{(a + b)(a + b)^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
Сократим общий множитель $(a + b)$:
$\frac{(\cancel{a + b})(a + b)^2}{(\cancel{a + b})(a^2 - ab + b^2)} = \frac{(a + b)^2}{a^2 - ab + b^2}$
Ответ: $\frac{(a+b)^2}{a^2 - ab + b^2}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2}$, разложим на множители и числитель, и знаменатель. Для числителя используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Для знаменателя используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a + b)}$
Сократим общий множитель $(a - b)$:
$\frac{(\cancel{a - b})(a^2 + ab + b^2)}{(\cancel{a - b})(a + b)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$
Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$.