Номер 29, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 29, страница 14.

29. Найдите значение выражения:

a) 8¹⁶16¹²;

б) 81²⁵27³³;

a) $\frac{8^{16}}{{16}^{12}}=\frac{{\left(2^3\right)}^{16}}{{\left(2^4\right)}^{12}}=\frac{2^{48}}{2^{48}}=1;$

б) $\frac{{81}^{25}}{{27}^{33}}=\frac{{\left(3^4\right)}^{25}}{{\left(3^3\right)}^{33}}=\frac{3^{100}}{3^{99}}=3$

а)

Чтобы найти значение выражения $\frac{8^{16}}{16^{12}}$, необходимо привести основания степеней 8 и 16 к общему основанию. Заметим, что оба числа являются степенями двойки:

$8 = 2^3$

$16 = 2^4$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{8^{16}}{16^{12}} = \frac{(2^3)^{16}}{(2^4)^{12}}$

Далее воспользуемся свойством степени «возведение степени в степень», согласно которому $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Преобразуем числитель:

$(2^3)^{16} = 2^{3 \cdot 16} = 2^{48}$

Преобразуем знаменатель:

$(2^4)^{12} = 2^{4 \cdot 12} = 2^{48}$

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{2^{48}}{2^{48}}$

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{2^{48}}{2^{48}} = 2^{48-48} = 2^0 = 1$

Ответ: 1

б)

Для нахождения значения выражения $\frac{81^{25}}{27^{33}}$ приведем основания степеней 81 и 27 к общему основанию. Оба числа являются степенями тройки:

$81 = 3^4$

$27 = 3^3$

Подставим эти представления в исходную дробь:

$\frac{81^{25}}{27^{33}} = \frac{(3^4)^{25}}{(3^3)^{33}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим числитель и знаменатель.

В числителе:

$(3^4)^{25} = 3^{4 \cdot 25} = 3^{100}$

В знаменателе:

$(3^3)^{33} = 3^{3 \cdot 33} = 3^{99}$

Теперь выражение выглядит следующим образом:

$\frac{3^{100}}{3^{99}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{100}}{3^{99}} = 3^{100-99} = 3^1 = 3$

Ответ: 3