Номер 36, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 36, страница 15.

36. Представьте частное в виде дроби и сократите её:

a) (9x² – y²) : (3x + y);

б) (2ab – a) : (4b² – 4b + 1);

в) (x² + 2x + 4) : (x³ – 8);

г) (1 + a³) : (1 + a).

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(9x^2-y^2\right):\left(3x+y\right)=\frac{9x^2-y^2}{3x+y}= \\ =\frac{\left(3x-y\right)(3x+y)}{3x+y}=3x-y; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(2ab-a):(4b^2*4b+1)=\frac{2ab-a}{4b^2-4b+1}= \\ =\frac{a(2b-1)}{{(2b-1)}^2}=\frac{a}{2b-1}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}(x^2+2x+4):(x^3-8)=\frac{x^2+2x+4}{x^3-8}= \\ =\frac{x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{1}{x-2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}(1+a^3):(1+a)=\frac{1+a^3}{1+a}=\frac{(1+a)(1-a+a^2)}{1+a}= \\ =1-a+a^2 \end{gathered}$$

а) Представим частное в виде дроби и сократим её. Для этого разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

$(9x^2 - y^2) : (3x + y) = \frac{9x^2 - y^2}{3x + y}$

Числитель $9x^2 - y^2$ можно представить как $(3x)^2 - y^2$. Применяем формулу:

$(3x)^2 - y^2 = (3x-y)(3x+y)$

Теперь подставим разложенное выражение в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(3x-y)(3x+y)}{3x+y} = 3x-y$

Ответ: $3x-y$.

б) Представим частное в виде дроби. Разложим числитель и знаменатель на множители.

$(2ab - a) : (4b^2 - 4b + 1) = \frac{2ab - a}{4b^2 - 4b + 1}$

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$2ab - a = a(2b-1)$

Знаменатель $4b^2 - 4b + 1$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$:

$4b^2 - 4b + 1 = (2b)^2 - 2 \cdot 2b \cdot 1 + 1^2 = (2b-1)^2$

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{a(2b-1)}{(2b-1)^2} = \frac{a}{2b-1}$

Ответ: $\frac{a}{2b-1}$.

в) Представим частное в виде дроби. Для сокращения разложим знаменатель на множители, используя формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.

$(x^2 + 2x + 4) : (x^3 - 8) = \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8}$

Знаменатель $x^3 - 8$ можно представить как $x^3 - 2^3$. Применяем формулу:

$x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

Подставим разложенное выражение в дробь и сократим:

$\frac{x^2 + 2x + 4}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{1}{x-2}$

Ответ: $\frac{1}{x-2}$.

г) Представим частное в виде дроби. Разложим числитель на множители, используя формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

$(1 + a^3) : (1 + a) = \frac{1 + a^3}{1 + a}$

Числитель $1 + a^3$ можно представить как $1^3 + a^3$. Применяем формулу:

$1^3 + a^3 = (1+a)(1^2 - 1 \cdot a + a^2) = (1+a)(1-a+a^2)$

Подставим разложенное выражение в дробь и сократим:

$\frac{(1+a)(1-a+a^2)}{1+a} = 1-a+a^2$

Ответ: $1-a+a^2$.