Номер 30, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 30, страница 14.

30. Сократите дробь:

a) a(b-2)5(b-2);

б) 3(x+4)c(x+4);

в) ab(y+3)a²b(y+3);

г) 15a(a-b)20b(a-b).

a) $\frac{a\left(b-2\right)}{5\left(b-2\right)}=\frac{a}{5};$

б) $\frac{3\left(x+4\right)}{c\left(x+4\right)}=\frac{3}{c};$

в) $\frac{ab\left(y+3\right)}{a^{2}b\left(y+3\right)}=\frac{1}{a};$

г) $\frac{15a\left(a-b\right)}{20b\left(a-b\right)}=\frac{3a}{4b}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a(b-2)}{5(b-2)}$, необходимо разделить числитель и знаменатель на их общий множитель. В данном случае общим множителем является выражение $(b-2)$. Сокращение возможно при условии, что множитель не равен нулю, то есть $b-2 \neq 0$, или $b \neq 2$.

Выполняем сокращение:

$\frac{a(b-2)}{5(b-2)} = \frac{a \cdot \cancel{(b-2)}}{5 \cdot \cancel{(b-2)}} = \frac{a}{5}$

Ответ: $\frac{a}{5}$

б) В дроби $\frac{3(x+4)}{c(x+4)}$ числитель и знаменатель имеют общий множитель $(x+4)$. Сократим дробь на это выражение, при условии, что $x+4 \neq 0$ (то есть $x \neq -4$) и знаменатель не равен нулю ($c \neq 0$).

Выполняем сокращение:

$\frac{3(x+4)}{c(x+4)} = \frac{3 \cdot \cancel{(x+4)}}{c \cdot \cancel{(x+4)}} = \frac{3}{c}$

Ответ: $\frac{3}{c}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{ab(y+3)}{a^2b(y+3)}$. Общими множителями для числителя и знаменателя являются $a$, $b$ и $(y+3)$. Сокращение возможно при условиях $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $y+3 \neq 0$ (то есть $y \neq -3$).

Представим $a^2$ как $a \cdot a$ и выполним сокращение пошагово:

$\frac{ab(y+3)}{a^2b(y+3)} = \frac{\cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(y+3)}}{a \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(y+3)}} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

г) Для сокращения дроби $\frac{15a(a-b)}{20b(a-b)}$ найдем общие множители. Общим множителем является выражение $(a-b)$, при условии $a \neq b$. Также необходимо сократить числовые коэффициенты 15 и 20.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 15 и 20. НОД(15, 20) = 5. Разделим коэффициенты на 5: $15 \div 5 = 3$ и $20 \div 5 = 4$.

Выполним сокращение дроби:

$\frac{15a(a-b)}{20b(a-b)} = \frac{\cancel{15}^3 \cdot a \cdot \cancel{(a-b)}}{\cancel{20}^4 \cdot b \cdot \cancel{(a-b)}} = \frac{3a}{4b}$

Ответ: $\frac{3a}{4b}$