Номер 23, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 23, страница 10.

23. Разложите на множители:

а) x² – 25;

б) 16 – c²;

в) a² – 6a + 9;

г) x² + 8x + 16;

д) a³ – 8;

е) b³ + 27.

a) $x^2-25=\left(x-5\right)\left(x+5\right)$

б) $16-c^2=\left(4-c\right)\left(4+c\right)$

в) $a^2-6a+9={\left(a-3\right)}^2$

г) $x^2+8x+16={\left(x+4\right)}^2$

д) $a^3-8=\left(a-2\right)\left(a^2+2a+4\right)$

е) $b^3+27=\left(b+3\right)\left(b^2-3b+9\right)$

а) Для разложения выражения $x^2 - 25$ на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В данном выражении $a = x$ и $b = 5$, так как $25 = 5^2$.
Подставляем значения в формулу:
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.
Ответ: $(x-5)(x+5)$

б) Выражение $16 - c^2$ также является разностью квадратов. Применим ту же формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Здесь $a = 4$, потому что $16 = 4^2$, а $b = c$.
Следовательно:
$16 - c^2 = 4^2 - c^2 = (4-c)(4+c)$.
Ответ: $(4-c)(4+c)$

в) Выражение $a^2 - 6a + 9$ представляет собой полный квадрат разности. Для его разложения используется формула: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В этом случае $x = a$ и $y = 3$, так как $a^2$ - это квадрат $a$, $9$ - это квадрат $3$, а $6a$ - это удвоенное произведение $a$ и $3$ ($2 \cdot a \cdot 3$).
Таким образом:
$a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.
Ответ: $(a-3)^2$

г) Выражение $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы. Используем формулу: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = x$ и $b = 4$, так как $x^2$ - это квадрат $x$, $16$ - это квадрат $4$, а $8x$ - это удвоенное произведение $x$ и $4$ ($2 \cdot x \cdot 4$).
Получаем:
$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.
Ответ: $(x+4)^2$

д) Для разложения выражения $a^3 - 8$ на множители применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
В данном выражении $x = a$ и $y = 2$, поскольку $8 = 2^3$.
Подставляем в формулу:
$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a-2)(a^2 + 2a + 4)$.
Ответ: $(a-2)(a^2 + 2a + 4)$

е) Выражение $b^3 + 27$ является суммой кубов. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
В этом случае $x = b$ и $y = 3$, так как $27 = 3^3$.
Подставляем значения в формулу:
$b^3 + 27 = b^3 + 3^3 = (b+3)(b^2 - b \cdot 3 + 3^2) = (b+3)(b^2 - 3b + 9)$.
Ответ: $(b+3)(b^2 - 3b + 9)$