Номер 19, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 19, страница 9.

19. При каком значении a принимает наибольшее значение дробь:

a) 4a²+5;

б) 10(a-3)²+1?

а) $\frac{4}{a^2+5}$
Знаменатель дроби $a^2+5$ принимает наименьшее значение при a=0, значит, дробь $\frac{4}{a^2+5}$принимает наибольшее значение при a=0
Ответ: при a=0

б) $\frac{10}{{\left(a-3\right)}^2+1}$
Знаменатель дроби ${\left(a-3\right)}^2+1$ принимает наименьшее значение при a=3, значит, дробь $\frac{10}{{\left(a-3\right)}^2+1}$принимает наибольшее значение при a=3
Ответ: при a=3

а)

Чтобы дробь $\frac{4}{a^2 + 5}$ принимала наибольшее значение, ее знаменатель должен быть наименьшим, так как числитель дроби (4) является положительным постоянным числом.

Рассмотрим знаменатель $a^2 + 5$. Выражение $a^2$ является квадратом числа и поэтому всегда неотрицательно, то есть $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$. Наименьшее значение $a^2$ равно 0 и достигается при $a = 0$.

Следовательно, наименьшее значение знаменателя $a^2 + 5$ равно $0 + 5 = 5$. Это значение достигается при $a = 0$.

Таким образом, дробь принимает свое наибольшее значение, равное $\frac{4}{5}$, при $a = 0$.

Ответ: при $a = 0$.

б)

Чтобы дробь $\frac{10}{(a - 3)^2 + 1}$ принимала наибольшее значение, ее знаменатель должен быть наименьшим, так как числитель (10) — положительное постоянное число.

Рассмотрим знаменатель $(a - 3)^2 + 1$. Выражение $(a - 3)^2$ является квадратом числа и поэтому всегда неотрицательно, то есть $(a - 3)^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$. Наименьшее значение $(a - 3)^2$ равно 0.

Это значение достигается, когда выражение в скобках равно нулю: $a - 3 = 0$ $a = 3$

Следовательно, наименьшее значение знаменателя $(a - 3)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$. Это значение достигается при $a = 3$.

Таким образом, дробь принимает свое наибольшее значение, равное $\frac{10}{1} = 10$, при $a = 3$.

Ответ: при $a = 3$.