Номер 20, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 20, страница 10.

20. При каком значении b принимает наименьшее значение дробь:

a) b²+721;

б) (b-2)²+168;

а) $\frac{b^2+7}{21}$
Числитель дроби $b^2+7$ принимает наименьшее значение при b=0, значит, дробь $\frac{b^2+7}{21}$принимает наименьшее значение при b=0
Ответ: при b=0

б) $\frac{{\left(b-2\right)}^2+16}{8}$
Числитель дроби ${\left(b-2\right)}^2+16$ принимает наименьшее значение при b=2, значит, дробь $\frac{{\left(b-2\right)}^2+16}{8}$принимает наименьшее значение при b=2
Ответ: при b=2

а) Чтобы найти значение $b$, при котором дробь $\frac{b^2 + 7}{21}$ принимает наименьшее значение, нужно минимизировать её числитель, так как знаменатель 21 является положительной константой. Чем меньше числитель, тем меньше значение всей дроби.

Рассмотрим числитель $b^2 + 7$. Он состоит из двух слагаемых: переменного $b^2$ и константы 7. Чтобы сумма была наименьшей, переменное слагаемое $b^2$ должно принять наименьшее возможное значение.

Выражение $b^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять $b^2$, равно 0.

Это наименьшее значение достигается при $b = 0$.

Следовательно, дробь $\frac{b^2 + 7}{21}$ принимает свое наименьшее значение при $b = 0$.

Ответ: $b=0$.

б) Чтобы найти значение $b$, при котором дробь $\frac{(b-2)^2 + 16}{8}$ принимает наименьшее значение, нужно, как и в предыдущем пункте, минимизировать её числитель. Знаменатель 8 — это положительная константа.

Рассмотрим числитель $(b-2)^2 + 16$. Он состоит из двух слагаемых: переменного $(b-2)^2$ и константы 16. Чтобы сумма была наименьшей, слагаемое $(b-2)^2$ должно принять наименьшее возможное значение.

Выражение $(b-2)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Его значение всегда неотрицательно: $(b-2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, равное 0, оно принимает тогда, когда основание степени равно нулю.

Приравняем основание степени к нулю: $b - 2 = 0$. Отсюда находим $b = 2$.

Следовательно, дробь $\frac{(b-2)^2 + 16}{8}$ принимает свое наименьшее значение при $b = 2$.

Ответ: $b=2$.