Номер 18, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 18, страница 9.

18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:

a) 3x²+1 положительно;

б) -5y²+4 отрицательно;

в) (a-1)²a²+10 неотрицательно;

г) (b-3)²-b²-1 неположительно.

a) $\frac{3}{x^2+1}$
$x^2\ge 0;$$x^2+1>0;$и $3>0$
Значит, $\frac{3}{x^2+1}>0$

б) $\frac{-5}{y^2+4}$
$y^2\ge 0;$$y^2+4>0;$и $-5<0$
Значит, $\frac{-5}{y^2+4}<0$

в) $\frac{{\left(a-1\right)}^2}{a^2+10}$
$a^2\ge 0;$$a^2+10>0;$
${\left(a-1\right)}^2=0$ при a=1
${\left(a-1\right)}^2>0$ при всех a, кроме a=1
${\left(a-1\right)}^2\ge 0$
Значит, $\frac{{\left(a-1\right)}^2}{a^2+10}\ge 0$

г) $\frac{{\left(b-3\right)}^2}{-b^2-1}=\frac{{\left(b-3\right)}^2}{-\left(b^2+1\right)}=-\frac{{\left(b-3\right)}^2}{b^2+1}$
$b^2\ge 0;$$b^2+1>0$
${\left(b-3\right)}^2=0$ при b=3
${\left(b-3\right)}^2>0$ при всех b, кроме b=3
${\left(b-3\right)}^2\ge 0$
Значит, $\frac{{\left(b-3\right)}^2}{b^2+1}\ge 0$, тогда $-\frac{{\left(b-3\right)}^2}{b^2+1}\le 0$

а) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{3}{x^2 + 1}$ положительно при любом значении переменной $x$, необходимо проанализировать знаки числителя и знаменателя.

Числитель дроби равен 3. Это постоянное положительное число ($3 > 0$).

Знаменатель дроби равен $x^2 + 1$. Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Прибавляя к неотрицательному числу 1, мы получаем строго положительное число: $x^2 + 1 \ge 0 + 1$, следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, знаменатель всегда строго положителен.

Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Поскольку числитель (3) положителен и знаменатель ($x^2 + 1$) положителен при любом $x$, вся дробь всегда положительна.

Ответ: значение дроби $\frac{3}{x^2 + 1}$ всегда положительно, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{-5}{y^2 + 4}$ отрицательно при любом значении переменной $y$, рассмотрим знаки ее числителя и знаменателя.

Числитель дроби равен -5. Это постоянное отрицательное число ($-5 < 0$).

Знаменатель дроби равен $y^2 + 4$. Так как $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$, то $y^2 + 4 \ge 0 + 4$, следовательно, $y^2 + 4 \ge 4$. Это означает, что знаменатель всегда является строго положительным числом.

При делении отрицательного числа на положительное всегда получается отрицательное число. Так как числитель (-5) отрицателен, а знаменатель ($y^2 + 4$) положителен, то значение дроби всегда будет отрицательным.

Ответ: значение дроби $\frac{-5}{y^2 + 4}$ всегда отрицательно, что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательно при любом значении переменной $a$, проанализируем ее числитель и знаменатель. "Неотрицательно" означает "больше или равно нулю".

Числитель дроби, $(a - 1)^2$, является квадратом действительного числа. Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, то есть $(a - 1)^2 \ge 0$. Числитель равен нулю при $a = 1$ и положителен при всех остальных значениях $a$.

Знаменатель дроби равен $a^2 + 10$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то $a^2 + 10 \ge 0 + 10$, то есть $a^2 + 10 \ge 10$. Знаменатель всегда является строго положительным числом.

Частное от деления неотрицательного числа (числителя) на строго положительное число (знаменатель) всегда будет неотрицательным ($\ge 0$).

Ответ: значение дроби $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ всегда неотрицательно, что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительно при любом значении переменной $b$, рассмотрим ее числитель и знаменатель. "Неположительно" означает "меньше или равно нулю".

Числитель дроби, $(b - 3)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен: $(b - 3)^2 \ge 0$. Числитель равен нулю при $b = 3$ и положителен при всех остальных значениях $b$.

Знаменатель дроби равен $-b^2 - 1$. Вынесем знак минус за скобки: $-(b^2 + 1)$. Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$), поэтому $b^2 + 1 \ge 1$, то есть $b^2+1$ всегда строго положительно. Следовательно, знаменатель $-(b^2 + 1)$ всегда строго отрицателен (так как это положительное число, умноженное на -1).

При делении неотрицательного числа (числителя) на строго отрицательное число (знаменатель) результат всегда будет меньше или равен нулю. Если числитель равен 0 (при $b=3$), дробь равна 0. Если числитель положителен, дробь отрицательна.

Ответ: значение дроби $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ всегда неположительно, что и требовалось доказать.