Страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

а) x² – 8x + 9;

б)16x-3;

в)3x-67;

г) x²-84x(x+1);

д) x-5x²+25- 3x;

е) xx+8 + x-8x.

а) $x^2-8x+9$
Ответ: все числа

б) $\frac{1}{6x-3}$
$6x-3\ne 0;$ $6x\ne 3;$ $x\ne \frac{3}{6};$ $x\ne 0,5$
Ответ: все числа, кроме 0,5

в) $\frac{3x-6}{7}$
Ответ: все числа

г) $\frac{x^2-8}{4x\left(x+1\right)}$
$\left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -1\end{array}\right.$
Ответ: все числа, кроме -1 и 0

д) $\frac{x-5}{x^2+25}-3x$
Ответ: все числа

е) $\frac{x}{x+8}+\frac{x-8}{x}$
$\left\{\begin{array}{c}x+8\ne 0\\ x\ne 0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}x\ne -8\\ x\ne 0\end{array}\right.$
Ответ: все числа, кроме -8 и 0

а) Выражение $x^2 - 8x + 9$ является многочленом (целым выражением). Такие выражения определены для любых значений переменной, так как в них отсутствуют операции деления на переменную и извлечения корня.
Ответ: $x$ - любое число.

б) Выражение $\frac{1}{6x - 3}$ является дробным. Допустимые значения переменной для дробных выражений — это все значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель $6x - 3$ обращается в ноль.
$6x - 3 = 0$
$6x = 3$
$x = \frac{3}{6}$
$x = 0.5$
Следовательно, переменная $x$ может принимать любые значения, кроме $0.5$.
Ответ: $x \neq 0.5$.

в) Выражение $\frac{3x - 6}{7}$ является дробным, однако его знаменатель — это число 7, которое не равно нулю и не зависит от переменной $x$. Числитель $3x-6$ является целым выражением и определен для любого $x$. Следовательно, всё выражение определено для любого значения переменной.
Ответ: $x$ - любое число.

г) Выражение $\frac{x^2 - 8}{4x(x + 1)}$ является дробным. Его знаменатель $4x(x + 1)$ не должен равняться нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения.
$4x(x + 1) = 0$
Это равенство выполняется, если:
1) $4x = 0 \implies x = 0$
2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
Значит, переменная $x$ не может принимать значения 0 и -1.
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

д) Выражение $\frac{x - 5}{x^2 + 25} - 3x$ состоит из дроби и целого выражения $-3x$. Целое выражение определено для всех $x$. Для дроби нужно, чтобы знаменатель не был равен нулю. Знаменатель дроби равен $x^2 + 25$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 25 \ge 25$. Это означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, всё выражение определено для любых значений $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

е) Выражение $\frac{x}{x + 8} + \frac{x - 8}{x}$ является суммой двух дробей. Чтобы оно имело смысл, знаменатель каждой из дробей не должен быть равен нулю.
Для первой дроби знаменатель $x+8$ не должен быть равен нулю:
$x + 8 \neq 0 \implies x \neq -8$.
Для второй дроби знаменатель $x$ не должен быть равен нулю:
$x \neq 0$.
Таким образом, переменная $x$ не может принимать значения -8 и 0.
Ответ: $x \neq -8$ и $x \neq 0$.

12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

а)5y-811

б)25y-9

в)y²+1y²+2y

г)y-10y²+3

д)yy-6+ 15y+6

е)32y- y+1y+7

а) $\frac{5y-8}{11}$
Ответ: все числа

б) $\frac{25}{y-9}$
$y-9\ne 0;$ $y\ne 9;$
Ответ: все числа, кроме 9

в) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}=\frac{y^2+1}{y\left(y-2\right)}$
$\left\{\begin{array}{c}y\ne 0\\ y-2\ne 0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}y\ne 0\\ y\ne 2\end{array}\right.$
Ответ: все числа, кроме 0 и 2

г) $\frac{y-10}{y^2+3}$
Ответ: все числа

д) $\frac{y}{y-6}+\frac{15}{y+6}$
$\left\{\begin{array}{c}y-6\ne 0\\ y+6\ne 0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}y\ne 6\\ y\ne -6\end{array}\right.$
Ответ: все числа, кроме -6 и 6

е) $\frac{32}{y}-\frac{y+1}{y+7}$
$\left\{\begin{array}{c}y\ne 0\\ y+7\ne 0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}y\ne 0\\ y\ne -7\end{array}\right.$
Ответ: все числа, кроме -7 и 0

а) В выражении $\frac{5y-8}{11}$ знаменатель дроби равен 11. Так как знаменатель является константой, не равной нулю, и не содержит переменной, то выражение определено при любых значениях переменной $y$.

Ответ: все числа.

б) В выражении $\frac{25}{y-9}$ знаменатель дроби $y-9$ не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Найдем значения $y$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$y - 9 = 0$

$y = 9$

Следовательно, допустимыми являются все значения $y$, кроме $y=9$.

Ответ: все числа, кроме 9.

в) В выражении $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$ знаменатель дроби $y^2-2y$ не должен быть равен нулю. Найдем значения $y$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$y^2 - 2y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$y = 0$ или $y - 2 = 0$

Отсюда $y = 0$ или $y = 2$.

Следовательно, допустимыми являются все значения $y$, кроме $y=0$ и $y=2$.

Ответ: все числа, кроме 0 и 2.

г) В выражении $\frac{y-10}{y^2+3}$ знаменатель дроби $y^2+3$ не должен быть равен нулю. Рассмотрим выражение в знаменателе: $y^2+3$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y^2 \ge 0$.

Следовательно, $y^2+3 \ge 3$ для любого значения $y$.

Значит, знаменатель $y^2+3$ никогда не обращается в ноль. Выражение определено при любых значениях переменной $y$.

Ответ: все числа.

д) Выражение $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$ является суммой двух дробей. Оно имеет смысл тогда, когда знаменатель каждой дроби не равен нулю.

1. Знаменатель первой дроби: $y-6 \neq 0$, откуда $y \neq 6$.

2. Знаменатель второй дроби: $y+6 \neq 0$, откуда $y \neq -6$.

Таким образом, допустимыми являются все значения $y$, кроме $y=6$ и $y=-6$.

Ответ: все числа, кроме -6 и 6.

е) Выражение $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$ является разностью двух дробей. Оно имеет смысл тогда, когда знаменатель каждой дроби не равен нулю.

1. Знаменатель первой дроби: $y \neq 0$.

2. Знаменатель второй дроби: $y+7 \neq 0$, откуда $y \neq -7$.

Таким образом, допустимыми являются все значения $y$, кроме $y=0$ и $y=-7$.

Ответ: все числа, кроме -7 и 0.

13. Найдите область определения функции:

а) y = 1x-2

б) y = 2x+3x(x+1)

в) y = x+1x+5

а) $y=\frac{1}{x-2}$
$x-2\ne 0;$ $x\ne 2;$
Ответ: все числа, кроме 2

б) $y=\frac{2x+3}{x\left(x+1\right)}$
$\left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -1\end{array}\right.$
Ответ: все числа, кроме -1 и 0

в) $y=x+\frac{1}{x+5}$
$x+5\ne 0;$ $x\ne -5;$
Ответ: все числа, кроме -5

а)

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Функция $y = \frac{1}{x-2}$ является дробно-рациональной. Она определена для всех $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Таким образом, $x=2$ является недопустимым значением. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$

б)

Функция $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ также является дробно-рациональной. Ее область определения — это все значения $x$, для которых знаменатель $x(x+1)$ не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, решив уравнение:

$x(x+1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

$x = 0$

или

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Следовательно, недопустимыми значениями являются $x=0$ и $x=-1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме -1 и 0.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$

в)

Функция $y = x + \frac{1}{x+5}$ является суммой линейной функции $y=x$ и дробно-рациональной функции. Линейная часть $y=x$ определена для всех действительных чисел. Ограничение на область определения накладывает дробное слагаемое, знаменатель которого не должен быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель дроби обращается в ноль:

$x + 5 = 0$

$x = -5$

Таким образом, значение $x=-5$ не входит в область определения. Область определения функции — это все действительные числа, кроме -5.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$

14. При каком значении переменной значение дроби x-35 равно:

а) 1; б) 0; в) –1; г) 3?

$\frac{x-3}{5}$

а) $\frac{x-3}{5}=1;$ $x-3=5;$ $x=8$
Ответ: при x=8

б) $\frac{x-3}{5}=0;$ $x-3=0;$ $x=3$
Ответ: при x=3

в) $\frac{x-3}{5}=-1;$ $x-3=-5;$ $x=-2$
Ответ: при x=-2

г) $\frac{x-3}{5}=3;$ $x-3=15;$ $x=18$
Ответ: при x=18

Для того чтобы найти, при каком значении переменной $x$ дробь $\frac{x-3}{5}$ принимает заданные значения, необходимо составить и решить уравнения для каждого случая.

а) Найдем значение $x$, при котором дробь равна 1.

Составим уравнение:

$\frac{x-3}{5} = 1$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 5:

$x - 3 = 1 \cdot 5$

$x - 3 = 5$

Теперь перенесем -3 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x = 5 + 3$

$x = 8$

Ответ: при $x = 8$.

б) Найдем значение $x$, при котором дробь равна 0.

Составим уравнение:

$\frac{x-3}{5} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен 5, что не равно нулю. Следовательно, достаточно приравнять числитель к нулю:

$x - 3 = 0$

Перенесем -3 в правую часть уравнения:

$x = 3$

Ответ: при $x = 3$.

в) Найдем значение $x$, при котором дробь равна -1.

Составим уравнение:

$\frac{x-3}{5} = -1$

Умножим обе части уравнения на 5:

$x - 3 = -1 \cdot 5$

$x - 3 = -5$

Перенесем -3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = -5 + 3$

$x = -2$

Ответ: при $x = -2$.

г) Найдем значение $x$, при котором дробь равна 3.

Составим уравнение:

$\frac{x-3}{5} = 3$

Умножим обе части уравнения на 5:

$x - 3 = 3 \cdot 5$

$x - 3 = 15$

Перенесем -3 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = 15 + 3$

$x = 18$

Ответ: при $x = 18$.

15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:

а) y-58;

б) 2y+310;

в) x(x-1)x+4;

г) x(x+3)2x+6?

а) $\frac{y-5}{8}=0$
$$\begin{gathered} y-5=0 \\ y=5 \end{gathered}$$

Ответ: при y=5

б) $\frac{2y+3}{10}=0$
$$\begin{gathered} 2y+3=0 \\ 2y=-3 \\ y=-1,5 \end{gathered}$$

Ответ: при y=1,5

в) $\frac{x\left(x-1\right)}{x+4}=0$
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}x\left(x-1\right)=0\\ x+4\ne 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=0 или x-1=0\\ x\ne -4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=0 или x=1\\ x\ne -4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при x=0 и при x=1

г) $\frac{x\left(x+3\right)}{2x+6}=0$
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}x\left(x+3\right)=0\\ 2x+6\ne 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=0 или x+3=0\\ 2x\ne -6\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=0 или x=-3\\ x\ne -3\end{array}\right.<=>x=0 \end{gathered}$$

Ответ: при x=0

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\frac{A}{B} = 0 \iff \begin{cases} A = 0 \\ B \ne 0 \end{cases}$

а) $\frac{y-5}{8}$

Чтобы дробь была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю. Приравняем числитель к нулю и найдем значение переменной y:

$y-5=0$

$y=5$

Знаменатель дроби равен 8, что не равно нулю ($8 \ne 0$). Следовательно, условие на знаменатель выполняется. Таким образом, дробь равна нулю при $y=5$.

Ответ: $y=5$

б) $\frac{2y+3}{10}$

Приравняем числитель к нулю:

$2y+3=0$

$2y=-3$

$y=-\frac{3}{2}$ или $y=-1,5$

Знаменатель дроби равен 10, что не равно нулю ($10 \ne 0$). Условие на знаменатель выполняется. Таким образом, дробь равна нулю при $y=-1,5$.

Ответ: $y=-1,5$

в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$

Составим систему условий. Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$\begin{cases} x(x-1) = 0 \\ x+4 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x(x-1)=0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x_1=0$ или $x-1=0 \implies x_2=1$

Теперь решим неравенство из второго условия: $x+4 \ne 0 \implies x \ne -4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни $x_1=0$ и $x_2=1$ условию $x \ne -4$.

Для $x_1=0$: $0 \ne -4$ (верно).

Для $x_2=1$: $1 \ne -4$ (верно).

Оба значения переменной подходят, так как при этих значениях числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Ответ: $x=0; x=1$

г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$

Составим систему условий: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.

$\begin{cases} x(x+3) = 0 \\ 2x+6 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x(x+3)=0$.

$x_1=0$ или $x+3=0 \implies x_2=-3$

Теперь решим неравенство из второго условия: $2x+6 \ne 0$.

$2x \ne -6$

$x \ne -3$

Проверим найденные корни на соответствие этому условию.

Для $x_1=0$: $0 \ne -3$ (верно). Значит, $x=0$ является решением.

Для $x_2=-3$: $-3 \ne -3$ (неверно). Это значение не является решением, так как при $x=-3$ знаменатель обращается в ноль ($2(-3)+6 = -6+6=0$), и дробь теряет смысл (деление на ноль).

Таким образом, только одно значение переменной, $x=0$, обращает дробь в ноль.

Ответ: $x=0$

16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби:

a) m+46;

б) 7-5n11;

в) b²-bb+2;

г) y²-253y-15.

а) $\frac{m+4}{6}=0$
$$\begin{gathered} m+4=0 \\ m=-4 \end{gathered}$$

Ответ: при m=-4

б) $\frac{7-5n}{11}=0$
$$\begin{gathered} 7-5n=0 \\ 5n=7 \\ n=\frac{7}{5} \\ n=1,4 \end{gathered}$$

Ответ: при n=1,4

в) $\frac{b^2-b}{b+2}=0$
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{b}^2-b=0\\ b+2\ne 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}b\left(b-1\right)=0\\ b\ne -2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}b=0 или b-1=0\\ b\ne -2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}b=0 или b=1\\ b\ne -2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при b=0 и при b=1

г) $\frac{y^2-25}{3y-15}=0$
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{y}^2-25=0\\ 3y-15\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}\left(y-5\right)\left(y+5\right)=0\\ 3y\ne 15\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y-5=0 или y+5=0\\ y\ne 5\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=5 или y=-5\\ y\ne 5\end{array}\right.<=>y=-5 \end{gathered}$$

Ответ: при y=-5

а) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Для дроби $\frac{m+4}{6}$ знаменатель равен 6, что не равно нулю. Поэтому для нахождения искомых значений переменной достаточно приравнять числитель к нулю.
Решим уравнение:
$m + 4 = 0$
$m = -4$
При $m = -4$ условие выполняется.
Ответ: -4.

б) Для дроби $\frac{7-5n}{11}$ знаменатель равен 11, что не равно нулю. Приравняем числитель к нулю, чтобы найти значение $n$, при котором дробь обращается в ноль:
$7 - 5n = 0$
Перенесем $5n$ в правую часть:
$7 = 5n$
Найдем $n$:
$n = \frac{7}{5}$
$n = 1,4$
Ответ: 1,4.

в) Дробь $\frac{b^2 - b}{b + 2}$ равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это можно записать в виде системы условий:
$\begin{cases} b^2 - b = 0 \\ b + 2 \neq 0 \end{cases}$
Сначала решим уравнение $b^2 - b = 0$. Вынесем общий множитель $b$ за скобки:
$b(b - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
$b_1 = 0$
$b_2 = 1$
Теперь проверим условие для знаменателя: $b + 2 \neq 0$, что означает $b \neq -2$.
Оба найденных корня, $b=0$ и $b=1$, удовлетворяют этому условию ($0 \neq -2$ и $1 \neq -2$). Следовательно, оба значения являются решениями.
Ответ: 0; 1.

г) Для дроби $\frac{y^2 - 25}{3y - 15}$ составим систему условий, при которых она равна нулю:
$\begin{cases} y^2 - 25 = 0 \\ 3y - 15 \neq 0 \end{cases}$
Решим уравнение для числителя, $y^2 - 25 = 0$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$(y-5)(y+5) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = 5$
$y_2 = -5$
Теперь решим условие-ограничение для знаменателя: $3y - 15 \neq 0$.
$3y \neq 15$
$y \neq \frac{15}{3}$
$y \neq 5$
Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ). Сравним полученные корни с этим ограничением. Значение $y=5$ не входит в ОДЗ, так как оно обращает знаменатель в ноль, что недопустимо. Значение $y=-5$ удовлетворяет условию $y \neq 5$.
Таким образом, дробь равна нулю только при одном значении переменной.
Ответ: -5.

17. Определите знак дроби ab, если известно, что:

а) a > 0 и b > 0;

б) a > 0 и b ‹ 0;

в) a ‹ 0 и b > 0;

г) a ‹ 0 и b ‹ 0.

а) если a>0, b>0, то $\frac{a}{b}>0$

б) если a>0, b<0, то $\frac{a}{b}<0$

в) если a<0, b>0, то $\frac{a}{b}<0$

г) если a<0, b<0, то $\frac{a}{b}>0$

Для определения знака дроби $\frac{a}{b}$ необходимо проанализировать знаки ее числителя ($a$) и знаменателя ($b$).

• Если знаки числителя и знаменателя совпадают (оба положительные или оба отрицательные), то дробь будет положительной.
• Если знаки числителя и знаменателя различны (один положительный, другой отрицательный), то дробь будет отрицательной.

а) По условию $a > 0$ и $b > 0$. В этом случае числитель $a$ и знаменатель $b$ являются положительными числами. Частное двух положительных чисел всегда положительно.

Ответ: знак дроби $\frac{a}{b}$ — плюс.

б) По условию $a > 0$ и $b < 0$. В этом случае числитель $a$ — положительное число, а знаменатель $b$ — отрицательное. Частное чисел с разными знаками всегда отрицательно.

Ответ: знак дроби $\frac{a}{b}$ — минус.

в) По условию $a < 0$ и $b > 0$. В этом случае числитель $a$ — отрицательное число, а знаменатель $b$ — положительное. Частное чисел с разными знаками всегда отрицательно.

Ответ: знак дроби $\frac{a}{b}$ — минус.

г) По условию $a < 0$ и $b < 0$. В этом случае числитель $a$ и знаменатель $b$ являются отрицательными числами. Частное двух отрицательных чисел всегда положительно.

Ответ: знак дроби $\frac{a}{b}$ — плюс.

18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:

a) 3x²+1 положительно;

б) -5y²+4 отрицательно;

в) (a-1)²a²+10 неотрицательно;

г) (b-3)²-b²-1 неположительно.

a) $\frac{3}{x^2+1}$
$x^2\ge 0;$$x^2+1>0;$и $3>0$
Значит, $\frac{3}{x^2+1}>0$

б) $\frac{-5}{y^2+4}$
$y^2\ge 0;$$y^2+4>0;$и $-5<0$
Значит, $\frac{-5}{y^2+4}<0$

в) $\frac{{\left(a-1\right)}^2}{a^2+10}$
$a^2\ge 0;$$a^2+10>0;$
${\left(a-1\right)}^2=0$ при a=1
${\left(a-1\right)}^2>0$ при всех a, кроме a=1
${\left(a-1\right)}^2\ge 0$
Значит, $\frac{{\left(a-1\right)}^2}{a^2+10}\ge 0$

г) $\frac{{\left(b-3\right)}^2}{-b^2-1}=\frac{{\left(b-3\right)}^2}{-\left(b^2+1\right)}=-\frac{{\left(b-3\right)}^2}{b^2+1}$
$b^2\ge 0;$$b^2+1>0$
${\left(b-3\right)}^2=0$ при b=3
${\left(b-3\right)}^2>0$ при всех b, кроме b=3
${\left(b-3\right)}^2\ge 0$
Значит, $\frac{{\left(b-3\right)}^2}{b^2+1}\ge 0$, тогда $-\frac{{\left(b-3\right)}^2}{b^2+1}\le 0$

а) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{3}{x^2 + 1}$ положительно при любом значении переменной $x$, необходимо проанализировать знаки числителя и знаменателя.

Числитель дроби равен 3. Это постоянное положительное число ($3 > 0$).

Знаменатель дроби равен $x^2 + 1$. Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Прибавляя к неотрицательному числу 1, мы получаем строго положительное число: $x^2 + 1 \ge 0 + 1$, следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, знаменатель всегда строго положителен.

Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Поскольку числитель (3) положителен и знаменатель ($x^2 + 1$) положителен при любом $x$, вся дробь всегда положительна.

Ответ: значение дроби $\frac{3}{x^2 + 1}$ всегда положительно, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{-5}{y^2 + 4}$ отрицательно при любом значении переменной $y$, рассмотрим знаки ее числителя и знаменателя.

Числитель дроби равен -5. Это постоянное отрицательное число ($-5 < 0$).

Знаменатель дроби равен $y^2 + 4$. Так как $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$, то $y^2 + 4 \ge 0 + 4$, следовательно, $y^2 + 4 \ge 4$. Это означает, что знаменатель всегда является строго положительным числом.

При делении отрицательного числа на положительное всегда получается отрицательное число. Так как числитель (-5) отрицателен, а знаменатель ($y^2 + 4$) положителен, то значение дроби всегда будет отрицательным.

Ответ: значение дроби $\frac{-5}{y^2 + 4}$ всегда отрицательно, что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательно при любом значении переменной $a$, проанализируем ее числитель и знаменатель. "Неотрицательно" означает "больше или равно нулю".

Числитель дроби, $(a - 1)^2$, является квадратом действительного числа. Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, то есть $(a - 1)^2 \ge 0$. Числитель равен нулю при $a = 1$ и положителен при всех остальных значениях $a$.

Знаменатель дроби равен $a^2 + 10$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то $a^2 + 10 \ge 0 + 10$, то есть $a^2 + 10 \ge 10$. Знаменатель всегда является строго положительным числом.

Частное от деления неотрицательного числа (числителя) на строго положительное число (знаменатель) всегда будет неотрицательным ($\ge 0$).

Ответ: значение дроби $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ всегда неотрицательно, что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительно при любом значении переменной $b$, рассмотрим ее числитель и знаменатель. "Неположительно" означает "меньше или равно нулю".

Числитель дроби, $(b - 3)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен: $(b - 3)^2 \ge 0$. Числитель равен нулю при $b = 3$ и положителен при всех остальных значениях $b$.

Знаменатель дроби равен $-b^2 - 1$. Вынесем знак минус за скобки: $-(b^2 + 1)$. Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$), поэтому $b^2 + 1 \ge 1$, то есть $b^2+1$ всегда строго положительно. Следовательно, знаменатель $-(b^2 + 1)$ всегда строго отрицателен (так как это положительное число, умноженное на -1).

При делении неотрицательного числа (числителя) на строго отрицательное число (знаменатель) результат всегда будет меньше или равен нулю. Если числитель равен 0 (при $b=3$), дробь равна 0. Если числитель положителен, дробь отрицательна.

Ответ: значение дроби $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ всегда неположительно, что и требовалось доказать.

19. При каком значении a принимает наибольшее значение дробь:

a) 4a²+5;

б) 10(a-3)²+1?

а) $\frac{4}{a^2+5}$
Знаменатель дроби $a^2+5$ принимает наименьшее значение при a=0, значит, дробь $\frac{4}{a^2+5}$принимает наибольшее значение при a=0
Ответ: при a=0

б) $\frac{10}{{\left(a-3\right)}^2+1}$
Знаменатель дроби ${\left(a-3\right)}^2+1$ принимает наименьшее значение при a=3, значит, дробь $\frac{10}{{\left(a-3\right)}^2+1}$принимает наибольшее значение при a=3
Ответ: при a=3

а)

Чтобы дробь $\frac{4}{a^2 + 5}$ принимала наибольшее значение, ее знаменатель должен быть наименьшим, так как числитель дроби (4) является положительным постоянным числом.

Рассмотрим знаменатель $a^2 + 5$. Выражение $a^2$ является квадратом числа и поэтому всегда неотрицательно, то есть $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$. Наименьшее значение $a^2$ равно 0 и достигается при $a = 0$.

Следовательно, наименьшее значение знаменателя $a^2 + 5$ равно $0 + 5 = 5$. Это значение достигается при $a = 0$.

Таким образом, дробь принимает свое наибольшее значение, равное $\frac{4}{5}$, при $a = 0$.

Ответ: при $a = 0$.

б)

Чтобы дробь $\frac{10}{(a - 3)^2 + 1}$ принимала наибольшее значение, ее знаменатель должен быть наименьшим, так как числитель (10) — положительное постоянное число.

Рассмотрим знаменатель $(a - 3)^2 + 1$. Выражение $(a - 3)^2$ является квадратом числа и поэтому всегда неотрицательно, то есть $(a - 3)^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$. Наименьшее значение $(a - 3)^2$ равно 0.

Это значение достигается, когда выражение в скобках равно нулю: $a - 3 = 0$ $a = 3$

Следовательно, наименьшее значение знаменателя $(a - 3)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$. Это значение достигается при $a = 3$.

Таким образом, дробь принимает свое наибольшее значение, равное $\frac{10}{1} = 10$, при $a = 3$.

Ответ: при $a = 3$.