Страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. При каком значении b принимает наименьшее значение дробь:

a) b²+721;

б) (b-2)²+168;

а) $\frac{b^2+7}{21}$
Числитель дроби $b^2+7$ принимает наименьшее значение при b=0, значит, дробь $\frac{b^2+7}{21}$принимает наименьшее значение при b=0
Ответ: при b=0

б) $\frac{{\left(b-2\right)}^2+16}{8}$
Числитель дроби ${\left(b-2\right)}^2+16$ принимает наименьшее значение при b=2, значит, дробь $\frac{{\left(b-2\right)}^2+16}{8}$принимает наименьшее значение при b=2
Ответ: при b=2

а) Чтобы найти значение $b$, при котором дробь $\frac{b^2 + 7}{21}$ принимает наименьшее значение, нужно минимизировать её числитель, так как знаменатель 21 является положительной константой. Чем меньше числитель, тем меньше значение всей дроби.

Рассмотрим числитель $b^2 + 7$. Он состоит из двух слагаемых: переменного $b^2$ и константы 7. Чтобы сумма была наименьшей, переменное слагаемое $b^2$ должно принять наименьшее возможное значение.

Выражение $b^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $b^2 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять $b^2$, равно 0.

Это наименьшее значение достигается при $b = 0$.

Следовательно, дробь $\frac{b^2 + 7}{21}$ принимает свое наименьшее значение при $b = 0$.

Ответ: $b=0$.

б) Чтобы найти значение $b$, при котором дробь $\frac{(b-2)^2 + 16}{8}$ принимает наименьшее значение, нужно, как и в предыдущем пункте, минимизировать её числитель. Знаменатель 8 — это положительная константа.

Рассмотрим числитель $(b-2)^2 + 16$. Он состоит из двух слагаемых: переменного $(b-2)^2$ и константы 16. Чтобы сумма была наименьшей, слагаемое $(b-2)^2$ должно принять наименьшее возможное значение.

Выражение $(b-2)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Его значение всегда неотрицательно: $(b-2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, равное 0, оно принимает тогда, когда основание степени равно нулю.

Приравняем основание степени к нулю: $b - 2 = 0$. Отсюда находим $b = 2$.

Следовательно, дробь $\frac{(b-2)^2 + 16}{8}$ принимает свое наименьшее значение при $b = 2$.

Ответ: $b=2$.

21. Верно ли утверждение:

а) наибольшее значение дроби 184x²+9+y²+4xy равно 1;

б) наибольшее значение дроби 184x²+9+y²+4xy равно 2;

в) наименьшее значение дроби 184x²+9+y²+4xy равно 2?

$$\begin{gathered} \frac{18}{4x^2+9+y^2+4xy}=\frac{18}{\left(4x^2+4xy+y^2\right)+9}= \\ =\frac{18}{{\left(2x+y\right)}^2+9} \end{gathered}$$
Знаменатель дроби ${\left(2x+y\right)}^2+9$ принимает наименьшее значение при ${\left(2x+y\right)}^2=0,$ значит, дробь $\frac{18}{{\left(2x+y\right)}^2+9}$принимает наибольшее значение при $2x+y=0$ и равно $\frac{18}{0+9}=2$

Ответ: а) нет; б) да; в) нет

Для ответа на все три вопроса, сначала проанализируем выражение в знаменателе дроби: $Z = 4x^2 + 9 + y^2 + 4xy$.

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:

$Z = (4x^2 + 4xy + y^2) + 9$

Выражение в скобках является формулой квадрата суммы: $(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = (2x+y)^2$.

Таким образом, знаменатель можно представить в виде: $Z = (2x+y)^2 + 9$.

Тогда сама дробь имеет вид: $\frac{18}{(2x+y)^2 + 9}$.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение дроби с постоянным числителем, нужно исследовать значения ее знаменателя.

а) наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 1;

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшем значении ее знаменателя. Знаменатель $Z = (2x+y)^2 + 9$ принимает наименьшее значение, когда слагаемое $(2x+y)^2$ минимально.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, минимальное значение $(2x+y)^2$ равно 0. Это значение достигается при условии $2x+y=0$ (например, при $x=0, y=0$ или $x=1, y=-2$).

Минимальное значение знаменателя: $Z_{min} = 0 + 9 = 9$.

Следовательно, наибольшее значение дроби равно: $\frac{18}{Z_{min}} = \frac{18}{9} = 2$.

Утверждение, что наибольшее значение дроби равно 1, является неверным.

Ответ: утверждение неверно.

б) наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 2;

Как было показано в пункте а), наибольшее значение дроби достигается при наименьшем значении знаменателя, которое равно 9.

Наибольшее значение дроби составляет $\frac{18}{9} = 2$.

Следовательно, данное утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

в) наименьшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 2?

Наименьшее значение дроби достигается при наибольшем значении ее знаменателя. Знаменатель $Z = (2x+y)^2 + 9$.

Выражение $(2x+y)^2$ может принимать сколь угодно большие значения (например, если $x$ или $y$ стремятся к бесконечности). Это означает, что знаменатель не ограничен сверху, и у него нет наибольшего значения.

Когда знаменатель $Z$ стремится к бесконечности ($Z \to \infty$), значение дроби $\frac{18}{Z}$ стремится к нулю. Поскольку знаменатель $Z = (2x+y)^2 + 9 \ge 9$, дробь всегда положительна.

Таким образом, значения дроби лежат в интервале $(0, 2]$. У дроби нет наименьшего значения (она только стремится к 0). Утверждение, что наименьшее значение дроби равно 2, неверно, так как 2 является ее наибольшим значением.

Ответ: утверждение неверно.

22. Преобразуйте в многочлен:

a) (2a + 3)(2a – 3);

б) (y – 5b)(y + 5b);

в) (0,8x + y)(y – 0,8x);

г) (b + 0,5)²;

д) (a – 2x)²;

е) (ab – 1)².

a) $(2a+3)(2a-3)=4a^2-9$

б) $\left(y-5b\right)\left(y+5b\right)=y^2-25b$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(0,8x+y\right)\left(y-0,8x\right)= \\ =\left(y+0,8x\right)\left(y-0,8x\right)=y^2-0,64x^2 \end{gathered}$$

г) ${\left(b+0,5\right)}^2=b^2+b+0,25$

д) ${\left(a-2x\right)}^2=a^2-4ax+4x^2$

е) ${\left(ab-1\right)}^2=a^2{b}^2-2ab+1$

а) Для преобразования выражения $(2a + 3)(2a - 3)$ в многочлен воспользуемся формулой сокращённого умножения — разностью квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x = 2a$ и $y = 3$.
Подставим значения в формулу:
$(2a + 3)(2a - 3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$.
Ответ: $4a^2 - 9$.

б) Выражение $(y - 5b)(y + 5b)$ также преобразуется по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Здесь $x = y$ и $y = 5b$.
Выполним преобразование:
$(y - 5b)(y + 5b) = y^2 - (5b)^2 = y^2 - 25b^2$.
Ответ: $y^2 - 25b^2$.

в) Чтобы преобразовать выражение $(0,8x + y)(y - 0,8x)$, поменяем местами слагаемые в первом множителе, чтобы привести его к стандартному виду формулы разности квадратов: $(y + 0,8x)(y - 0,8x)$.
Применим формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = y$ и $y = 0,8x$.
$(y + 0,8x)(y - 0,8x) = y^2 - (0,8x)^2 = y^2 - 0,64x^2$.
Ответ: $y^2 - 0,64x^2$.

г) Для раскрытия скобок в выражении $(b + 0,5)^2$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В этом случае $x = b$ и $y = 0,5$.
Подставим значения в формулу:
$(b + 0,5)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 0,5 + (0,5)^2 = b^2 + b + 0,25$.
Ответ: $b^2 + b + 0,25$.

д) Выражение $(a - 2x)^2$ преобразуется с помощью формулы квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x = a$ и $y = 2x$.
Выполним преобразование:
$(a - 2x)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (2x) + (2x)^2 = a^2 - 4ax + 4x^2$.
Ответ: $a^2 - 4ax + 4x^2$.

е) Для преобразования $(ab - 1)^2$ также применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = ab$ и $y = 1$.
Подставим значения в формулу:
$(ab - 1)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = a^2b^2 - 2ab + 1$.
Ответ: $a^2b^2 - 2ab + 1$.

23. Разложите на множители:

а) x² – 25;

б) 16 – c²;

в) a² – 6a + 9;

г) x² + 8x + 16;

д) a³ – 8;

е) b³ + 27.

a) $x^2-25=\left(x-5\right)\left(x+5\right)$

б) $16-c^2=\left(4-c\right)\left(4+c\right)$

в) $a^2-6a+9={\left(a-3\right)}^2$

г) $x^2+8x+16={\left(x+4\right)}^2$

д) $a^3-8=\left(a-2\right)\left(a^2+2a+4\right)$

е) $b^3+27=\left(b+3\right)\left(b^2-3b+9\right)$

а) Для разложения выражения $x^2 - 25$ на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В данном выражении $a = x$ и $b = 5$, так как $25 = 5^2$.
Подставляем значения в формулу:
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.
Ответ: $(x-5)(x+5)$

б) Выражение $16 - c^2$ также является разностью квадратов. Применим ту же формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Здесь $a = 4$, потому что $16 = 4^2$, а $b = c$.
Следовательно:
$16 - c^2 = 4^2 - c^2 = (4-c)(4+c)$.
Ответ: $(4-c)(4+c)$

в) Выражение $a^2 - 6a + 9$ представляет собой полный квадрат разности. Для его разложения используется формула: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В этом случае $x = a$ и $y = 3$, так как $a^2$ - это квадрат $a$, $9$ - это квадрат $3$, а $6a$ - это удвоенное произведение $a$ и $3$ ($2 \cdot a \cdot 3$).
Таким образом:
$a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.
Ответ: $(a-3)^2$

г) Выражение $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы. Используем формулу: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = x$ и $b = 4$, так как $x^2$ - это квадрат $x$, $16$ - это квадрат $4$, а $8x$ - это удвоенное произведение $x$ и $4$ ($2 \cdot x \cdot 4$).
Получаем:
$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.
Ответ: $(x+4)^2$

д) Для разложения выражения $a^3 - 8$ на множители применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
В данном выражении $x = a$ и $y = 2$, поскольку $8 = 2^3$.
Подставляем в формулу:
$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a-2)(a^2 + 2a + 4)$.
Ответ: $(a-2)(a^2 + 2a + 4)$

е) Выражение $b^3 + 27$ является суммой кубов. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
В этом случае $x = b$ и $y = 3$, так как $27 = 3^3$.
Подставляем значения в формулу:
$b^3 + 27 = b^3 + 3^3 = (b+3)(b^2 - b \cdot 3 + 3^2) = (b+3)(b^2 - 3b + 9)$.
Ответ: $(b+3)(b^2 - 3b + 9)$

24. Анне Александровне в подарок необходимо купить пять одинаковых коробок конфет. В магазине «Сладость» одна коробка конфет стоит 350 р., но сейчас там проходит акция: три коробки по цене двух. В магазине «Джем» каждая коробка стоит 390 р., но при покупке больше четырёх коробок действует скидка 30% на всю покупку. В каком магазине покупка будет более выгодной? Сколько рублей при этом сможет сэкономить Анна Александровна?

1. 350*2=700 (р.) - стоимость 3-х коробок конфет в магазине “Сладость” по акции три по цене двух
2. 2*700=1400 (р.) - стоимость 5-ти коробок конфет в магазине “Сладость”
3. 390*5=1950 (р.) - полная стоимость 5-ти коробок конфет в магазине “Джем”
4. 0,3*1950=585 (р.) - скидка в магазине “Джем”
5. 1950-585=1365 (р.) - стоимость 5-ти коробок конфет в магазине “Джем”
6. 1400-1365=35 (р.)
   1365<1400

Ответ: в магазине “Джем”, 35 рублей

Для того чтобы ответить на вопросы, необходимо рассчитать стоимость пяти коробок конфет в каждом магазине с учетом предложенных акций и скидок, а затем сравнить полученные результаты.

В каком магазине покупка будет более выгодной?

1. Рассчитаем стоимость покупки в магазине «Сладость».
Цена одной коробки составляет 350 рублей. По акции «три коробки по цене двух» за первые 3 коробки Анна Александровна заплатит как за 2. Оставшиеся 2 коробки ($5 - 3 = 2$) нужно будет купить по полной цене.
Стоимость покупки: $(2 \times 350) + (2 \times 350) = 4 \times 350 = 1400$ рублей.

2. Рассчитаем стоимость покупки в магазине «Джем».
Цена одной коробки составляет 390 рублей. Так как Анна Александровна покупает 5 коробок, что больше четырех, на всю покупку действует скидка 30%.
Сначала найдем стоимость пяти коробок без скидки: $5 \times 390 = 1950$ рублей.
Теперь применим скидку. Если скидка 30%, то итоговая цена составит $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначальной.
Стоимость со скидкой: $1950 \times 0,7 = 1365$ рублей.

3. Сравним стоимости.
Стоимость в «Сладости» — 1400 рублей.
Стоимость в «Джеме» — 1365 рублей.
Поскольку $1365 < 1400$, покупка в магазине «Джем» более выгодная.

Сколько рублей при этом сможет сэкономить Анна Александровна?

Чтобы определить сумму экономии, необходимо найти разницу между более дорогой и более дешевой покупкой.
$1400 - 1365 = 35$ рублей.

Ответ: Покупка будет более выгодной в магазине «Джем». Анна Александровна сможет сэкономить 35 рублей.