Номер 13, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 13, страница 9.

13. Найдите область определения функции:

а) y = 1x-2

б) y = 2x+3x(x+1)

в) y = x+1x+5

а) $y=\frac{1}{x-2}$
$x-2\ne 0;$ $x\ne 2;$
Ответ: все числа, кроме 2

б) $y=\frac{2x+3}{x\left(x+1\right)}$
$\left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -1\end{array}\right.$
Ответ: все числа, кроме -1 и 0

в) $y=x+\frac{1}{x+5}$
$x+5\ne 0;$ $x\ne -5;$
Ответ: все числа, кроме -5

а)

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Функция $y = \frac{1}{x-2}$ является дробно-рациональной. Она определена для всех $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Таким образом, $x=2$ является недопустимым значением. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$

б)

Функция $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ также является дробно-рациональной. Ее область определения — это все значения $x$, для которых знаменатель $x(x+1)$ не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, решив уравнение:

$x(x+1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

$x = 0$

или

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Следовательно, недопустимыми значениями являются $x=0$ и $x=-1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме -1 и 0.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$

в)

Функция $y = x + \frac{1}{x+5}$ является суммой линейной функции $y=x$ и дробно-рациональной функции. Линейная часть $y=x$ определена для всех действительных чисел. Ограничение на область определения накладывает дробное слагаемое, знаменатель которого не должен быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель дроби обращается в ноль:

$x + 5 = 0$

$x = -5$

Таким образом, значение $x=-5$ не входит в область определения. Область определения функции — это все действительные числа, кроме -5.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$