Номер 10, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 10, страница 8.

10. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение:

а) xx-2;

б)b+4b²+7;

в) y²-1y+yy-3;

г)a+10a(a-1) - 1?

а) $\frac{x}{x-2};$ $x-2\ne 0;$ $x\ne 2$
Ответ: при любых х, кроме 2

б) $\frac{b+4}{b^2+7}$
Ответ: при любых b

в) $\frac{y^2-1}{y}+\frac{y}{y-3}$
$\left\{\begin{array}{c}y\ne 0\\ y-3\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}y\ne 0\\ y\ne 3\end{array}\right.$

Ответ: все числа, кроме 0 и 3

г) $\frac{a+10}{a(a-1)}-1$
$\left\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ a-1\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ a\ne 1\end{array}\right.$

Ответ: при любых a, кроме 0 и 1

Рациональное выражение имеет смысл, или определено, тогда и только тогда, когда его знаменатель не равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Чтобы найти значения переменной, при которых выражение имеет смысл, нужно найти значения, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их из множества всех действительных чисел.

а) $\frac{x}{x-2}$

Данное выражение представляет собой дробь, знаменатель которой равен $x-2$.

Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

При $x=2$ знаменатель равен нулю, и выражение не имеет смысла. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях переменной $x$, кроме 2.

Ответ: $x \neq 2$.

б) $\frac{b+4}{b^2+7}$

Знаменатель данной дроби равен $b^2+7$.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения:

$b^2 + 7 = 0$

$b^2 = -7$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $b^2 \ge 0$. Поэтому уравнение $b^2 = -7$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $b^2+7$ никогда не равен нулю (его наименьшее значение равно 7 при $b=0$).

Следовательно, выражение имеет смысл при любом значении переменной $b$.

Ответ: любое число.

в) $\frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3}$

Это выражение является суммой двух рациональных дробей. Оно будет иметь смысл только в том случае, если знаменатель каждой из дробей не равен нулю.

1. Знаменатель первой дроби: $y$. Он не должен быть равен нулю. $y \neq 0$.

2. Знаменатель второй дроби: $y-3$. Он не должен быть равен нулю.

$y - 3 \neq 0$

$y \neq 3$

Объединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при всех значениях $y$, кроме $0$ и $3$.

Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq 3$.

г) $\frac{a+10}{a(a-1)} - 1$

Выражение состоит из дроби и целой части ($-1$), которая определена для любого значения переменной. Таким образом, нужно найти только те значения $a$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Знаменатель дроби равен $a(a-1)$.

Приравняем знаменатель к нулю:

$a(a-1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$a = 0$ или $a - 1 = 0$

$a = 0$ или $a = 1$

При $a=0$ и $a=1$ знаменатель обращается в ноль, и выражение не имеет смысла. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $0$ и $1$.

Ответ: $a \neq 0$ и $a \neq 1$.