Страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

55. Выполните действие:

a) x3 + y3;

б) 5b²a 13b²a;

в) x + y9 - x9;

г) 2c - xb + xb.

a) $\frac{x}{3}+\frac{y}{3}=\frac{x+y}{3};$

б) $\frac{5b^2}{a}-\frac{13b^2}{a}=\frac{5b^2-13b^2}{a}=\frac{-8b^2}{a};$

в) $\frac{x+y}{9}=-\frac{x}{9}=\frac{x+y-x}{9}=\frac{y}{9};$

г) $\frac{2c-x}{b}+\frac{x}{b}=\frac{2c-x+x}{b}=\frac{2c}{b}$

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В данном случае знаменатель равен 3.

$\frac{x}{3} + \frac{y}{3} = \frac{x+y}{3}$

Ответ: $\frac{x+y}{3}$

б) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним. Знаменатель в данном примере равен $a$.

$\frac{5b^2}{a} - \frac{13b^2}{a} = \frac{5b^2 - 13b^2}{a}$

Теперь упростим числитель, выполнив вычитание подобных членов:

$5b^2 - 13b^2 = (5-13)b^2 = -8b^2$

Таким образом, получаем:

$\frac{-8b^2}{a} = -\frac{8b^2}{a}$

Ответ: $-\frac{8b^2}{a}$

в) Выполняем вычитание дробей с одинаковым знаменателем 9. Для этого из числителя первой дроби вычитаем числитель второй.

$\frac{x+y}{9} - \frac{x}{9} = \frac{(x+y)-x}{9}$

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

$\frac{x+y-x}{9} = \frac{y}{9}$

Ответ: $\frac{y}{9}$

г) Выполняем сложение дробей с одинаковым знаменателем $b$. Для этого складываем их числители.

$\frac{2c-x}{b} + \frac{x}{b} = \frac{(2c-x)+x}{b}$

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

$\frac{2c-x+x}{b} = \frac{2c}{b}$

Ответ: $\frac{2c}{b}$

56. Представьте в виде дроби:

a) m2p - m - p2p;

б) a + b6 - a - 2b6;

в) 7y - 1310y - 2y + 310y;

г) 8c + 256c + 5 - 2c6c;

a) $\frac{m}{2p}-\frac{m-p}{2p}=\frac{m-(m-p)}{2p}=\frac{m-m+p}{2p}=\frac{p}{2p}=\frac{1}{2};$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a+b}{6}-\frac{a-2b}{6}=\frac{(a+b)-(a-2b)}{6}= \\ =\frac{a+b-a+2b}{6}=\frac{3b}{6}=\frac{b}{2}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{7y-13}{10y}-\frac{2y+3}{10y}=\frac{(7y-13)-(2y+3)}{10y}= \\ =\frac{7y-13-2y-3}{10y}=\frac{5y-16}{10y}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{8c+25}{6c}+\frac{5-2c}{6c}=\frac{8c+25+5-2c}{6c}= \\ =\frac{6c+30}{6c}=\frac{6(c+5)}{6c}=\frac{c+5}{c} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же. Так как перед второй дробью стоит знак минус, выражение в ее числителе нужно взять в скобки.

$ \frac{m}{2p} - \frac{m-p}{2p} = \frac{m-(m-p)}{2p} $

Теперь раскроем скобки в числителе. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$ \frac{m-m+p}{2p} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{p}{2p} $

Сократим полученную дробь на общий множитель $p$ (при условии $p \neq 0$):

$ \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 6. Выполним вычитание их числителей.

$ \frac{a+b}{6} - \frac{a-2b}{6} = \frac{(a+b)-(a-2b)}{6} $

Раскроем скобки в числителе, изменив знаки во вторых скобках:

$ \frac{a+b-a+2b}{6} $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе ($a-a=0$ и $b+2b=3b$):

$ \frac{3b}{6} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$ \frac{b}{2} $

Ответ: $ \frac{b}{2} $

в) Знаменатели дробей одинаковы и равны $10y$. Произведем вычитание числителей.

$ \frac{7y-13}{10y} - \frac{2y+3}{10y} = \frac{(7y-13)-(2y+3)}{10y} $

Раскроем скобки, не забывая поменять знаки слагаемых во втором числителе:

$ \frac{7y-13-2y-3}{10y} $

Приведем подобные слагаемые ($7y-2y=5y$ и $-13-3=-16$):

$ \frac{5y-16}{10y} $

Числитель $5y-16$ и знаменатель $10y$ не имеют общих множителей, кроме 1, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{5y-16}{10y} $

г) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

$ \frac{8c+25}{6c} + \frac{5-2c}{6c} = \frac{(8c+25)+(5-2c)}{6c} $

Так как перед скобками стоит знак плюс, скобки можно просто убрать и объединить слагаемые:

$ \frac{8c+25+5-2c}{6c} $

Приведем подобные слагаемые в числителе ($8c-2c=6c$ и $25+5=30$):

$ \frac{6c+30}{6c} $

Для упрощения дроби вынесем общий множитель 6 за скобки в числителе:

$ \frac{6(c+5)}{6c} $

Сократим дробь на 6 (при условии $c \neq 0$):

$ \frac{c+5}{c} $

Ответ: $ \frac{c+5}{c} $