Страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

75. Представьте в виде дроби:

a) x2 + y3;

б) c4 - d12;

в) ab - b²a;

г) 32x - 23x;

д) 5x8y + x4y;

е) 17y24c - 25y36c;

ж) 15a - 825a;

з) 3b4c + c2b.

a) $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=\frac{3x+2y}{6}$

б) $\frac{c}{4}-\frac{d}{12}=\frac{3c-d}{12}$

в) $\frac{a}{b}-\frac{b^2}{a}=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^3}{ab}=\frac{a^2-b^3}{ab}$

г) $\frac{3}{2c}-\frac{2}{3x}=\frac{9}{6x}-\frac{4}{6x}=\frac{5}{6x}$

д) $\frac{5x}{8y}+\frac{x}{4y}=\frac{5x}{8y}+\frac{2x}{8y}=\frac{7x}{8y}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{17y}{24c}-\frac{25y}{36c}=\frac{17y·3}{24c·3}-\frac{25y·2}{36c·2}= \\ =\frac{51y}{72c}-\frac{50y}{72c}=\frac{y}{72c} \end{gathered}$$

ж) $\frac{1}{5a}-\frac{8}{25a}=\frac{5}{25a}-\frac{8}{25a}=-\frac{3}{25a}$

з) $\frac{3b}{4c}+\frac{c}{2b}=\frac{3b^2}{4cb}+\frac{2c^2}{4bc}=\frac{3b^2+2c^2}{4bc}$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{x}{2}$ и $\frac{y}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 это 6. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 2:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3x}{6} + \frac{2y}{6}$

Теперь сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$\frac{3x + 2y}{6}$

Ответ: $\frac{3x + 2y}{6}$

б) Чтобы вычесть дробь $\frac{d}{12}$ из $\frac{c}{4}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 12 это 12. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель:

$\frac{c}{4} - \frac{d}{12} = \frac{c \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{d}{12} = \frac{3c}{12} - \frac{d}{12}$

Теперь вычтем числители:

$\frac{3c - d}{12}$

Ответ: $\frac{3c - d}{12}$

в) Для вычитания дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{b^2}{a}$ найдем общий знаменатель, который равен произведению их знаменателей, то есть $ab$. Умножим первую дробь на $a$, а вторую на $b$:

$\frac{a}{b} - \frac{b^2}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b^2 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^3}{ab}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{a^2 - b^3}{ab}$

Ответ: $\frac{a^2 - b^3}{ab}$

г) Общий знаменатель для дробей $\frac{3}{2x}$ и $\frac{2}{3x}$ — это наименьшее общее кратное для $2x$ и $3x$, которое равно $6x$. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2:

$\frac{3}{2x} - \frac{2}{3x} = \frac{3 \cdot 3}{2x \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3x \cdot 2} = \frac{9}{6x} - \frac{4}{6x}$

Вычтем числители:

$\frac{9 - 4}{6x} = \frac{5}{6x}$

Ответ: $\frac{5}{6x}$

д) Для сложения дробей $\frac{5x}{8y}$ и $\frac{x}{4y}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $8y$ и $4y$ равен $8y$. Домножим вторую дробь на 2:

$\frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y} = \frac{5x}{8y} + \frac{x \cdot 2}{4y \cdot 2} = \frac{5x}{8y} + \frac{2x}{8y}$

Сложим числители:

$\frac{5x + 2x}{8y} = \frac{7x}{8y}$

Ответ: $\frac{7x}{8y}$

е) Для вычитания дробей $\frac{17y}{24c}$ и $\frac{25y}{36c}$ найдем наименьший общий знаменатель для $24c$ и $36c$. НОК(24, 36) = 72. Значит, общий знаменатель равен $72c$. Дополнительный множитель для первой дроби $72c/24c = 3$, для второй $72c/36c = 2$:

$\frac{17y}{24c} - \frac{25y}{36c} = \frac{17y \cdot 3}{24c \cdot 3} - \frac{25y \cdot 2}{36c \cdot 2} = \frac{51y}{72c} - \frac{50y}{72c}$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{51y - 50y}{72c} = \frac{y}{72c}$

Ответ: $\frac{y}{72c}$

ж) Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{5a}$ и $\frac{8}{25a}$ это $25a$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 5:

$\frac{1}{5a} - \frac{8}{25a} = \frac{1 \cdot 5}{5a \cdot 5} - \frac{8}{25a} = \frac{5}{25a} - \frac{8}{25a}$

Вычтем числители:

$\frac{5 - 8}{25a} = \frac{-3}{25a} = -\frac{3}{25a}$

Ответ: $-\frac{3}{25a}$

з) Для сложения дробей $\frac{3b}{4c}$ и $\frac{c}{2b}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $4c$ и $2b$ это $4bc$. Дополнительный множитель для первой дроби $4bc/4c = b$, для второй $4bc/2b = 2c$:

$\frac{3b}{4c} + \frac{c}{2b} = \frac{3b \cdot b}{4c \cdot b} + \frac{c \cdot 2c}{2b \cdot 2c} = \frac{3b^2}{4bc} + \frac{2c^2}{4bc}$

Сложим числители:

$\frac{3b^2 + 2c^2}{4bc}$

Ответ: $\frac{3b^2 + 2c^2}{4bc}$

76. Выполните действие:

a) 5y - 36y + y + 24y;

б) 3x+535x + x - 321x;

в) b+215b - 3c - 545c;

г) 8b+y40b - 6y + b30y.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5y-3}{6y}+\frac{y+2}{4y}=\frac{2(5y-3)}{12y}+\frac{3(y+2)}{12y}= \\ =\frac{10y-6+3y+6}{12y}=\frac{13y}{12y}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3n+5}{35x}+\frac{x-3}{21x}=\frac{3(3x+5)}{105x}+\frac{5(x-3)}{105x}= \\ =\frac{9x+15+5x-15}{105x}=\frac{14x}{105x}=\frac{2x}{15x}=\frac{2}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{b+2}{15b}-\frac{3c-5}{45c}=\frac{3c(b+2)}{45bc}-\frac{b(3c-5)}{45bc}= \\ =\frac{3bc+6c-3bc+5b}{45bc}=\frac{6c+5b}{45bc} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{8b+y}{40b}-\frac{6y+b}{30y}=\frac{3y(8b+y)}{120by}-\frac{4b(6y+b)}{120by}= \\ =\frac{24by+3y^2-24by-4b^2}{120by}=\frac{3y^2-4b^2}{120by} \end{gathered}$$

а) $\frac{5y-3}{6y} + \frac{y+2}{4y}$

Чтобы выполнить сложение алгебраических дробей, их нужно привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $6y$ и $4y$.

1. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для коэффициентов 6 и 4. НОК(6, 4) = 12.

2. Общая переменная часть — $y$.

Таким образом, наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $12y$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен $\frac{12y}{6y} = 2$. Для второй дроби — $\frac{12y}{4y} = 3$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{5y-3}{6y} + \frac{y+2}{4y} = \frac{2 \cdot (5y-3)}{12y} + \frac{3 \cdot (y+2)}{12y}$

Раскроем скобки в числителях:

$\frac{10y-6}{12y} + \frac{3y+6}{12y}$

Теперь, когда дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{(10y-6) + (3y+6)}{12y} = \frac{10y - 6 + 3y + 6}{12y}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{13y}{12y}$

Сократим дробь на $y$ (при условии, что $y \neq 0$):

$\frac{13}{12}$

Ответ: $\frac{13}{12}$

б) $\frac{3x+5}{35x} + \frac{x-3}{21x}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели — $35x$ и $21x$.

1. Найдем НОК для коэффициентов 35 и 21. Разложим их на простые множители: $35 = 5 \cdot 7$, $21 = 3 \cdot 7$. НОК(35, 21) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

2. Общая переменная часть — $x$.

НОЗ равен $105x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{105x}{35x} = 3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{105x}{21x} = 5$.

$\frac{3 \cdot (3x+5)}{105x} + \frac{5 \cdot (x-3)}{105x} = \frac{9x+15}{105x} + \frac{5x-15}{105x}$

Сложим числители:

$\frac{(9x+15) + (5x-15)}{105x} = \frac{9x+15+5x-15}{105x}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{14x}{105x}$

Сократим дробь на $x$ (при $x \neq 0$) и на общий делитель 7 для 14 и 105:

$\frac{14}{105} = \frac{14 \div 7}{105 \div 7} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$

в) $\frac{b+2}{15b} - \frac{3c-5}{45c}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели — $15b$ и $45c$.

1. НОК для коэффициентов 15 и 45 равен 45.

2. Переменные части — $b$ и $c$. Они различны, поэтому в НОЗ войдут обе переменные.

НОЗ равен $45bc$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{45bc}{15b} = 3c$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{45bc}{45c} = b$.

$\frac{3c \cdot (b+2)}{45bc} - \frac{b \cdot (3c-5)}{45bc} = \frac{3bc+6c}{45bc} - \frac{3bc-5b}{45bc}$

Вычтем числители, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:

$\frac{(3bc+6c) - (3bc-5b)}{45bc} = \frac{3bc+6c-3bc+5b}{45bc}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{5b+6c}{45bc}$

Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $\frac{5b+6c}{45bc}$

г) $\frac{8b+y}{40b} - \frac{6y+b}{30y}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели — $40b$ и $30y$.

1. НОК для коэффициентов 40 и 30. $40 = 4 \cdot 10$, $30 = 3 \cdot 10$. НОК(40, 30) = $3 \cdot 4 \cdot 10 = 120$.

2. Переменные части — $b$ и $y$.

НОЗ равен $120by$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{120by}{40b} = 3y$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{120by}{30y} = 4b$.

$\frac{3y \cdot (8b+y)}{120by} - \frac{4b \cdot (6y+b)}{120by} = \frac{24by+3y^2}{120by} - \frac{24by+4b^2}{120by}$

Вычтем числители:

$\frac{(24by+3y^2) - (24by+4b^2)}{120by} = \frac{24by+3y^2-24by-4b^2}{120by}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3y^2-4b^2}{120by}$

Данную дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{3y^2-4b^2}{120by}$

77. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 15a - b12a - a - 4b9a;

б) 7x + 48y - 3x - 16y.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{15a-b}{12a}-\frac{a-4b}{9a}=\frac{3(15a-b)}{36a}-\frac{4(a-4b)}{36a}= \\ =\frac{45a-3b-4a+16b}{36a}=\frac{41a+13b}{36a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{7x+4}{8y}-\frac{3x-1}{6y}=\frac{3(7x+4)-4(3x-1)}{24y}= \\ =\frac{21x+12-12x+4}{24y}=\frac{9x+16}{24y} \end{gathered}$$

а) Чтобы преобразовать выражение $\frac{15a-b}{12a}-\frac{a-4b}{9a}$ в дробь, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $12a$ и $9a$. Наименьший общий знаменатель для них — это наименьшее общее кратное (НОК) выражений $12a$ и $9a$. НОК для числовых коэффициентов 12 и 9 равно 36, поэтому общий знаменатель будет $36a$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив общий знаменатель на знаменатель каждой дроби. Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{36a}{12a}=3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{36a}{9a}=4$. Теперь умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель: $\frac{3 \cdot (15a-b)}{36a} - \frac{4 \cdot (a-4b)}{36a} = \frac{45a-3b}{36a} - \frac{4a-16b}{36a}$. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычтем из числителя первой дроби числитель второй, оставив знаменатель без изменений. Важно помнить, что знак "минус" перед второй дробью относится ко всему ее числителю, поэтому его нужно взять в скобки: $\frac{(45a-3b) - (4a-16b)}{36a}$. Раскроем скобки в числителе. Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее: $\frac{45a-3b-4a+16b}{36a}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $(45a-4a) + (-3b+16b) = 41a + 13b$. Таким образом, итоговое выражение имеет вид: $\frac{41a+13b}{36a}$.
Ответ: $\frac{41a+13b}{36a}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{7x+4}{8y}-\frac{3x-1}{6y}$. Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $8y$ и $6y$. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 8 и 6 равно 24. Следовательно, общий знаменатель равен $24y$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{24y}{8y}=3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{24y}{6y}=4$. Умножим числители на их дополнительные множители: $\frac{3 \cdot (7x+4)}{24y} - \frac{4 \cdot (3x-1)}{24y} = \frac{21x+12}{24y} - \frac{12x-4}{24y}$. Выполним вычитание числителей, записав их под общим знаменателем: $\frac{(21x+12) - (12x-4)}{24y}$. Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак "минус": $\frac{21x+12-12x+4}{24y}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $(21x-12x) + (12+4) = 9x+16$. В результате получаем дробь: $\frac{9x+16}{24y}$.
Ответ: $\frac{9x+16}{24y}$

78. Выполните действие:

a) ba² - 1a;

б) 1 - xx³ + 1x²;

в) 12a⁷ + 4 - 2a³a¹⁰;

г) a + ba² + a - bab;

д) 2a - 3ba²b - 4a - 5bab²;

е) x - 2yxy² - 2y - xx²y.

a) $\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}=\frac{b}{a^2}-\frac{a}{a^2}=\frac{b-a}{a^2}$

б) $\frac{1-x}{x^3}+\frac{1}{x^2}=\frac{1-x}{x^3}+\frac{x}{x^3}=\frac{1-x+x}{x^3}=\frac{1}{x^3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{1}{2a^7}+\frac{4-2a^3}{a^{10}}=\frac{a^3}{2a^{10}}+\frac{2(4-2a^3)}{2a^{10}}= \\ =\frac{a^3+8-4a^3}{2a^{10}}=\frac{8-3a^3}{2a^{10}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a+b}{a^2}+\frac{a-b}{ab}=\frac{b(a+b)}{a^{2}b}+\frac{a(a-b)}{a^{2}b}= \\ =\frac{ab+b^2+a^2-ab}{a^{2}b}=\frac{a^2+b^2}{a^{2}b} \end{gathered}$$

д) $\frac{2a-3b}{a^{2}b}-\frac{4a-5b}{a{b}^2}=\frac{b(2a-3b)}{a^2{b}^2}-\frac{a(4a-5b)}{a^2{b}^2}=$
$=\frac{2ab-3b^2-4a^2+5ab}{a^2{b}^2}=\frac{7ab-3b^2-4a^2}{a^2{b}^2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{x-2y}{x{y}^2}-\frac{2y-x}{x^{2}y}=\frac{x(x-2y)}{x^2{y}^2}-\frac{y(2y-x)}{x^2{y}^2}= \\ =\frac{x^2-2xy-2y^2+xy}{x^2{y}^2}=\frac{x^2-xy-2y^2}{x^2{y}^2} \end{gathered}$$

а) $\frac{b}{a^2} - \frac{1}{a}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $a^2$ и $a$ - это $a^2$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{a}$ равен $a$.

$\frac{b}{a^2} - \frac{1 \cdot a}{a \cdot a} = \frac{b}{a^2} - \frac{a}{a^2} = \frac{b - a}{a^2}$

Ответ: $\frac{b-a}{a^2}$.

б) $\frac{1-x}{x^3} + \frac{1}{x^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^3$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{x^2}$ равен $x$.

$\frac{1-x}{x^3} + \frac{1 \cdot x}{x^2 \cdot x} = \frac{1-x}{x^3} + \frac{x}{x^3} = \frac{1-x+x}{x^3} = \frac{1}{x^3}$

Ответ: $\frac{1}{x^3}$.

в) $\frac{1}{2a^7} + \frac{4 - 2a^3}{a^{10}}$

Наименьший общий знаменатель для $2a^7$ и $a^{10}$ - это $2a^{10}$. Дополнительный множитель для первой дроби - $a^3$, для второй - $2$.

$\frac{1 \cdot a^3}{2a^7 \cdot a^3} + \frac{(4 - 2a^3) \cdot 2}{a^{10} \cdot 2} = \frac{a^3}{2a^{10}} + \frac{8 - 4a^3}{2a^{10}} = \frac{a^3 + 8 - 4a^3}{2a^{10}} = \frac{8 - 3a^3}{2a^{10}}$

Ответ: $\frac{8 - 3a^3}{2a^{10}}$.

г) $\frac{a+b}{a^2} + \frac{a-b}{ab}$

Наименьший общий знаменатель для $a^2$ и $ab$ - это $a^2b$. Дополнительный множитель для первой дроби - $b$, для второй - $a$.

$\frac{(a+b) \cdot b}{a^2 \cdot b} + \frac{(a-b) \cdot a}{ab \cdot a} = \frac{ab+b^2}{a^2b} + \frac{a^2-ab}{a^2b} = \frac{ab+b^2+a^2-ab}{a^2b} = \frac{a^2+b^2}{a^2b}$

Ответ: $\frac{a^2+b^2}{a^2b}$.

д) $\frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2}$

Наименьший общий знаменатель для $a^2b$ и $ab^2$ - это $a^2b^2$. Дополнительный множитель для первой дроби - $b$, для второй - $a$.

$\frac{(2a-3b) \cdot b}{a^2b \cdot b} - \frac{(4a-5b) \cdot a}{ab^2 \cdot a} = \frac{2ab-3b^2}{a^2b^2} - \frac{4a^2-5ab}{a^2b^2} = \frac{(2ab-3b^2) - (4a^2-5ab)}{a^2b^2} = \frac{2ab-3b^2 - 4a^2+5ab}{a^2b^2} = \frac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2}$.

е) $\frac{x-2y}{xy^2} - \frac{2y-x}{x^2y}$

Наименьший общий знаменатель для $xy^2$ и $x^2y$ - это $x^2y^2$. Дополнительный множитель для первой дроби - $x$, для второй - $y$.

$\frac{(x-2y) \cdot x}{xy^2 \cdot x} - \frac{(2y-x) \cdot y}{x^2y \cdot y} = \frac{x^2-2xy}{x^2y^2} - \frac{2y^2-xy}{x^2y^2} = \frac{(x^2-2xy) - (2y^2-xy)}{x^2y^2} = \frac{x^2-2xy - 2y^2+xy}{x^2y^2} = \frac{x^2-xy-2y^2}{x^2y^2}$

Числитель можно разложить на множители: $x^2-xy-2y^2 = (x-2y)(x+y)$.

Ответ: $\frac{x^2-xy-2y^2}{x^2y^2}$ или $\frac{(x-2y)(x+y)}{x^2y^2}$.

79. Представьте в виде дроби:

a) 2xy - 14x³ - 3y - x6x²;

б) 1 - b²3ab + 2b³ - 16ab²;

в) 13a³ - 25a⁵;

г) b²6x⁵ - b3x⁶.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2xy-1}{4x^3}-\frac{3y-x}{6x^2}=\frac{3(2xy-1)}{12x^3}-\frac{2x(3y-x)}{12x^3}= \\ =\frac{6xy-3-6xy+2x^2}{12x^3}=\frac{2x^2-3}{12x^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1-b^2}{3ab}+\frac{2b^3-1}{6a{b}^2}=\frac{2b(1-b^2)+(2b^3-1)}{6a{b}^2}= \\ =\frac{2b-2b^3+2b^3-1}{6a{b}^2}=\frac{2b-1}{6a{b}^2} \end{gathered}$$

в) $\frac{1}{3a^3}-\frac{2}{5a^5}=\frac{5a^2}{15a^5}-\frac{6}{15a^5}=\frac{5a^2-6}{15a^5}$

г) $\frac{b^2}{6x^5}-\frac{b}{3x^6}=\frac{b^{2}x}{6x^6}-\frac{2b}{6x^6}=\frac{b^{2}x-2b}{6x^6}$

а) Чтобы вычесть дроби $\frac{2xy - 1}{4x^3}$ и $\frac{3y - x}{6x^2}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $4x^3$ и $6x^2$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $12x^3$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби: $\frac{12x^3}{4x^3} = 3$. для второй дроби: $\frac{12x^3}{6x^2} = 2x$. Теперь умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание: $\frac{2xy - 1}{4x^3} - \frac{3y - x}{6x^2} = \frac{3 \cdot (2xy - 1)}{12x^3} - \frac{2x \cdot (3y - x)}{12x^3} = \frac{3(2xy - 1) - 2x(3y - x)}{12x^3}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{6xy - 3 - (6xy - 2x^2)}{12x^3} = \frac{6xy - 3 - 6xy + 2x^2}{12x^3}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{2x^2 - 3}{12x^3}$.
Ответ: $\frac{2x^2 - 3}{12x^3}$.

б) Чтобы сложить дроби $\frac{1 - b^2}{3ab}$ и $\frac{2b^3 - 1}{6ab^2}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $3ab$ и $6ab^2$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $6ab^2$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби: $\frac{6ab^2}{3ab} = 2b$. для второй дроби: $\frac{6ab^2}{6ab^2} = 1$. Теперь умножим числители на их дополнительные множители и выполним сложение: $\frac{1 - b^2}{3ab} + \frac{2b^3 - 1}{6ab^2} = \frac{2b \cdot (1 - b^2)}{6ab^2} + \frac{1 \cdot (2b^3 - 1)}{6ab^2} = \frac{2b(1 - b^2) + (2b^3 - 1)}{6ab^2}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{2b - 2b^3 + 2b^3 - 1}{6ab^2}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{2b - 1}{6ab^2}$.
Ответ: $\frac{2b - 1}{6ab^2}$.

в) Чтобы вычесть дроби $\frac{1}{3a^3}$ и $\frac{2}{5a^5}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $3a^3$ и $5a^5$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $15a^5$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби: $\frac{15a^5}{3a^3} = 5a^2$. для второй дроби: $\frac{15a^5}{5a^5} = 3$. Теперь умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание: $\frac{1}{3a^3} - \frac{2}{5a^5} = \frac{1 \cdot 5a^2}{15a^5} - \frac{2 \cdot 3}{15a^5} = \frac{5a^2 - 6}{15a^5}$.
Ответ: $\frac{5a^2 - 6}{15a^5}$.

г) Чтобы вычесть дроби $\frac{b^2}{6x^5}$ и $\frac{b}{3x^6}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $6x^5$ и $3x^6$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $6x^6$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби: $\frac{6x^6}{6x^5} = x$. для второй дроби: $\frac{6x^6}{3x^6} = 2$. Теперь умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание: $\frac{b^2}{6x^5} - \frac{b}{3x^6} = \frac{b^2 \cdot x}{6x^6} - \frac{b \cdot 2}{6x^6} = \frac{b^2x - 2b}{6x^6}$. В числителе можно вынести общий множитель $b$: $\frac{b(bx - 2)}{6x^6}$. Оба варианта ответа являются верными.
Ответ: $\frac{b^2x - 2b}{6x^6}$.

80. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 1ab + 1ac + 1bc;

б) ab - ba - ab - ab - a² - b²ab;

в) b - aab + c - bbc - c - aac;

г) 3ab + 2b²ab - a + 2ba + a - 2bb;

a) $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=\frac{c}{abc}+\frac{b}{abc}+\frac{a}{abc}=\frac{a+b+c}{abc}$

б) $\frac{ab-b}{a}-\frac{ab-a}{b}-\frac{a^2-b^2}{ab}=$
$$\begin{gathered} =\frac{b(ab-b)}{ab}-\frac{a(ab-a)}{ab}- \\ -\frac{a^2-b^2}{ab}=\frac{a{b}^2-b^2-a^{2}b+a^2-a^2+b^2}{ab}= \\ =\frac{a{b}^2-a^{2}b}{ab}=\frac{ab(b-a)}{ab}=b-a \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{b-a}{ab}+\frac{c-b}{bc}-\frac{c-a}{ac}= \\ =\frac{c(b-a)+a(c-b)-b(c-a)}{abc}= \\ =\frac{bc-ac+ac-ab-bc+ab}{abc}=\frac{0}{abc}=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{3ab+2b^2}{ab}-\frac{a+2b}{a}+\frac{a-2b}{b}= \\ =\frac{3ab+2b^2}{ab}-\frac{b(a+2b)}{ab}+\frac{a(a-2b)}{ab}= \\ =\frac{3ab+2b^2-ab-2b^2+a^2-2ab}{ab}=\frac{a^2}{ab}=\frac{a}{b} \end{gathered}$$

а)

Чтобы преобразовать выражение $ \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} $ в дробь, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для $ab$, $ac$ и $bc$ является $abc$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для $ \frac{1}{ab} $ дополнительный множитель – $c$.
• Для $ \frac{1}{ac} $ дополнительный множитель – $b$.
• Для $ \frac{1}{bc} $ дополнительный множитель – $a$.

Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель и сложим их:

$ \frac{1 \cdot c}{abc} + \frac{1 \cdot b}{abc} + \frac{1 \cdot a}{abc} = \frac{c+b+a}{abc} $

Для стандартного вида упорядочим слагаемые в числителе по алфавиту:

$ \frac{a+b+c}{abc} $

Ответ: $ \frac{a+b+c}{abc} $

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{ab-b}{a} - \frac{ab-a}{b} - \frac{a^2-b^2}{ab} $. Общим знаменателем для дробей является $ab$.

Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$ \frac{(ab-b) \cdot b}{ab} - \frac{(ab-a) \cdot a}{ab} - \frac{a^2-b^2}{ab} $

Запишем все под общей дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{b(ab-b) - a(ab-a) - (a^2-b^2)}{ab} = \frac{ab^2 - b^2 - (a^2b - a^2) - (a^2-b^2)}{ab} = \frac{ab^2 - b^2 - a^2b + a^2 - a^2 + b^2}{ab} $

Теперь приведем подобные слагаемые в числителе:

$ ab^2 - a^2b + (a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) = ab^2 - a^2b $

Выражение принимает вид:

$ \frac{ab^2 - a^2b}{ab} $

Вынесем общий множитель $ab$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$ \frac{ab(b-a)}{ab} = b-a $

Ответ: $ b-a $

в)

Рассмотрим выражение $ \frac{b-a}{ab} + \frac{c-b}{bc} - \frac{c-a}{ac} $. Общий знаменатель для дробей — $abc$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(b-a) \cdot c}{abc} + \frac{(c-b) \cdot a}{abc} - \frac{(c-a) \cdot b}{abc} $

Запишем все под общей дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{c(b-a) + a(c-b) - b(c-a)}{abc} = \frac{bc - ac + ac - ab - (bc - ab)}{abc} = \frac{bc - ac + ac - ab - bc + ab}{abc} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ (bc-bc) + (-ac+ac) + (-ab+ab) = 0 + 0 + 0 = 0 $

Таким образом, выражение равно:

$ \frac{0}{abc} = 0 $

Ответ: $ 0 $

г)

Рассмотрим выражение $ \frac{3ab+2b^2}{ab} - \frac{a+2b}{a} + \frac{a-2b}{b} $. Общим знаменателем является $ab$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{3ab+2b^2}{ab} - \frac{(a+2b) \cdot b}{ab} + \frac{(a-2b) \cdot a}{ab} $

Запишем все под общей дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(3ab+2b^2) - b(a+2b) + a(a-2b)}{ab} = \frac{3ab+2b^2 - (ab+2b^2) + (a^2-2ab)}{ab} = \frac{3ab+2b^2 - ab - 2b^2 + a^2 - 2ab}{ab} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ a^2 + (3ab - ab - 2ab) + (2b^2 - 2b^2) = a^2 + 0 \cdot ab + 0 = a^2 $

Выражение принимает вид:

$ \frac{a^2}{ab} $

Сократим дробь на $a$:

$ \frac{a}{b} $

Ответ: $ \frac{a}{b} $

81. Выполните вычитание дробей:

a) x - yxy - x- zxz;

б) a - 2b3b - b - 2a3a;

в) p - qp³q² - p + qp²q³;

г) 3m - n3m²n - 2n - m2mn².

a) $\frac{x-y}{xy}-\frac{x-z}{xz}=\frac{z(x-y)}{xyz}-\frac{y(x-z)}{xyz}=$
$$\begin{gathered} =\frac{xz-7y-xy+yz}{xyz}=\frac{(xz-xy)+(yz-zy)}{xyz}= \\ =\frac{x(z-y)}{xyz}=\frac{z-y}{yz} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a-2b}{3b}-\frac{b-2a}{3a}=\frac{a(a-2b)}{3ab}-\frac{b(b-2a)}{3ab}= \\ =\frac{a^2-2ab-b^2+2ab}{3ab}=\frac{a^2-b^2}{3ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{p-q}{p^3{q}^2}-\frac{p+q}{p^2{q}^3}=\frac{q(p-q)}{p^3{q}^3}-\frac{p(p+q)}{p^3{q}^3}= \\ =\frac{pq-q^2-p^2-pq}{p^3{q}^3}=\frac{-p^2-q^2}{p^3{q}^3}=-\frac{p^2+q^2}{p^3{q}^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{3m-n}{3m^{2}n}-\frac{2n-m}{2m{n}^2}= \\ =\frac{2n(3m-n)}{6m^2{n}^2}-\frac{3m(2n-m)}{6m^2{n}^2}= \\ =\frac{6mn-2n^2-6mn+3m^2}{6m^2{n}^2}=\frac{3m^2-2n^2}{6m^2{n}^2} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x-y}{xy} - \frac{x-z}{xz}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $xy$ и $xz$. НОЗ равен $xyz$.
2. Определяем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель $z$, так как $\frac{xyz}{xy} = z$. Для второй дроби — $y$, так как $\frac{xyz}{xz} = y$.
3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель и выполняем вычитание:
$\frac{x-y}{xy} - \frac{x-z}{xz} = \frac{z(x-y)}{xyz} - \frac{y(x-z)}{xyz} = \frac{z(x-y) - y(x-z)}{xyz}$
4. Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{xz - yz - (xy - yz)}{xyz} = \frac{xz - yz - xy + yz}{xyz}$
5. Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{xz - xy}{xyz}$
6. Выносим общий множитель $x$ за скобки в числителе и сокращаем дробь:
$\frac{x(z-y)}{xyz} = \frac{z-y}{yz}$
Ответ: $\frac{z-y}{yz}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{a-2b}{3b} - \frac{b-2a}{3a}$, приведем их к общему знаменателю.
1. НОЗ для знаменателей $3b$ и $3a$ равен $9ab$.
2. Дополнительный множитель для первой дроби — $3a$, для второй — $3b$.
3. Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:
$\frac{3a(a-2b)}{9ab} - \frac{3b(b-2a)}{9ab} = \frac{3a(a-2b) - 3b(b-2a)}{9ab}$
4. Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{3a^2 - 6ab - (3b^2 - 6ab)}{9ab} = \frac{3a^2 - 6ab - 3b^2 + 6ab}{9ab}$
5. Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{3a^2 - 3b^2}{9ab}$
6. Выносим общий множитель 3 в числителе и сокращаем дробь:
$\frac{3(a^2 - b^2)}{9ab} = \frac{a^2 - b^2}{3ab}$
Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{3ab}$

в) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{p-q}{p^3q^2} - \frac{p+q}{p^2q^3}$, приведем их к общему знаменателю.
1. НОЗ для знаменателей $p^3q^2$ и $p^2q^3$ равен $p^3q^3$ (выбираем переменные в наибольшей степени).
2. Дополнительный множитель для первой дроби — $q$, для второй — $p$.
3. Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:
$\frac{q(p-q)}{p^3q^3} - \frac{p(p+q)}{p^3q^3} = \frac{q(p-q) - p(p+q)}{p^3q^3}$
4. Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{pq - q^2 - (p^2 + pq)}{p^3q^3} = \frac{pq - q^2 - p^2 - pq}{p^3q^3}$
5. Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{-q^2 - p^2}{p^3q^3} = \frac{-(p^2+q^2)}{p^3q^3}$
Ответ: $-\frac{p^2+q^2}{p^3q^3}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{3m-n}{3m^2n} - \frac{2n-m}{2mn^2}$, приведем их к общему знаменателю.
1. НОЗ для знаменателей $3m^2n$ и $2mn^2$ равен $6m^2n^2$ (НОК для коэффициентов 2 и 3 равен 6, для переменных выбираем наибольшие степени).
2. Дополнительный множитель для первой дроби — $2n$, для второй — $3m$.
3. Приводим дроби к общему знаменателю и вычитаем:
$\frac{2n(3m-n)}{6m^2n^2} - \frac{3m(2n-m)}{6m^2n^2} = \frac{2n(3m-n) - 3m(2n-m)}{6m^2n^2}$
4. Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{6mn - 2n^2 - (6mn - 3m^2)}{6m^2n^2} = \frac{6mn - 2n^2 - 6mn + 3m^2}{6m^2n^2}$
5. Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{3m^2 - 2n^2}{6m^2n^2}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{3m^2 - 2n^2}{6m^2n^2}$