Номер 78, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 78, страница 25.

78. Выполните действие:

a) ba² - 1a;

б) 1 - xx³ + 1x²;

в) 12a⁷ + 4 - 2a³a¹⁰;

г) a + ba² + a - bab;

д) 2a - 3ba²b - 4a - 5bab²;

е) x - 2yxy² - 2y - xx²y.

a) $\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}=\frac{b}{a^2}-\frac{a}{a^2}=\frac{b-a}{a^2}$

б) $\frac{1-x}{x^3}+\frac{1}{x^2}=\frac{1-x}{x^3}+\frac{x}{x^3}=\frac{1-x+x}{x^3}=\frac{1}{x^3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{1}{2a^7}+\frac{4-2a^3}{a^{10}}=\frac{a^3}{2a^{10}}+\frac{2(4-2a^3)}{2a^{10}}= \\ =\frac{a^3+8-4a^3}{2a^{10}}=\frac{8-3a^3}{2a^{10}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a+b}{a^2}+\frac{a-b}{ab}=\frac{b(a+b)}{a^{2}b}+\frac{a(a-b)}{a^{2}b}= \\ =\frac{ab+b^2+a^2-ab}{a^{2}b}=\frac{a^2+b^2}{a^{2}b} \end{gathered}$$

д) $\frac{2a-3b}{a^{2}b}-\frac{4a-5b}{a{b}^2}=\frac{b(2a-3b)}{a^2{b}^2}-\frac{a(4a-5b)}{a^2{b}^2}=$
$=\frac{2ab-3b^2-4a^2+5ab}{a^2{b}^2}=\frac{7ab-3b^2-4a^2}{a^2{b}^2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{x-2y}{x{y}^2}-\frac{2y-x}{x^{2}y}=\frac{x(x-2y)}{x^2{y}^2}-\frac{y(2y-x)}{x^2{y}^2}= \\ =\frac{x^2-2xy-2y^2+xy}{x^2{y}^2}=\frac{x^2-xy-2y^2}{x^2{y}^2} \end{gathered}$$

а) $\frac{b}{a^2} - \frac{1}{a}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $a^2$ и $a$ - это $a^2$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{a}$ равен $a$.

$\frac{b}{a^2} - \frac{1 \cdot a}{a \cdot a} = \frac{b}{a^2} - \frac{a}{a^2} = \frac{b - a}{a^2}$

Ответ: $\frac{b-a}{a^2}$.

б) $\frac{1-x}{x^3} + \frac{1}{x^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^3$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{x^2}$ равен $x$.

$\frac{1-x}{x^3} + \frac{1 \cdot x}{x^2 \cdot x} = \frac{1-x}{x^3} + \frac{x}{x^3} = \frac{1-x+x}{x^3} = \frac{1}{x^3}$

Ответ: $\frac{1}{x^3}$.

в) $\frac{1}{2a^7} + \frac{4 - 2a^3}{a^{10}}$

Наименьший общий знаменатель для $2a^7$ и $a^{10}$ - это $2a^{10}$. Дополнительный множитель для первой дроби - $a^3$, для второй - $2$.

$\frac{1 \cdot a^3}{2a^7 \cdot a^3} + \frac{(4 - 2a^3) \cdot 2}{a^{10} \cdot 2} = \frac{a^3}{2a^{10}} + \frac{8 - 4a^3}{2a^{10}} = \frac{a^3 + 8 - 4a^3}{2a^{10}} = \frac{8 - 3a^3}{2a^{10}}$

Ответ: $\frac{8 - 3a^3}{2a^{10}}$.

г) $\frac{a+b}{a^2} + \frac{a-b}{ab}$

Наименьший общий знаменатель для $a^2$ и $ab$ - это $a^2b$. Дополнительный множитель для первой дроби - $b$, для второй - $a$.

$\frac{(a+b) \cdot b}{a^2 \cdot b} + \frac{(a-b) \cdot a}{ab \cdot a} = \frac{ab+b^2}{a^2b} + \frac{a^2-ab}{a^2b} = \frac{ab+b^2+a^2-ab}{a^2b} = \frac{a^2+b^2}{a^2b}$

Ответ: $\frac{a^2+b^2}{a^2b}$.

д) $\frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2}$

Наименьший общий знаменатель для $a^2b$ и $ab^2$ - это $a^2b^2$. Дополнительный множитель для первой дроби - $b$, для второй - $a$.

$\frac{(2a-3b) \cdot b}{a^2b \cdot b} - \frac{(4a-5b) \cdot a}{ab^2 \cdot a} = \frac{2ab-3b^2}{a^2b^2} - \frac{4a^2-5ab}{a^2b^2} = \frac{(2ab-3b^2) - (4a^2-5ab)}{a^2b^2} = \frac{2ab-3b^2 - 4a^2+5ab}{a^2b^2} = \frac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2}$.

е) $\frac{x-2y}{xy^2} - \frac{2y-x}{x^2y}$

Наименьший общий знаменатель для $xy^2$ и $x^2y$ - это $x^2y^2$. Дополнительный множитель для первой дроби - $x$, для второй - $y$.

$\frac{(x-2y) \cdot x}{xy^2 \cdot x} - \frac{(2y-x) \cdot y}{x^2y \cdot y} = \frac{x^2-2xy}{x^2y^2} - \frac{2y^2-xy}{x^2y^2} = \frac{(x^2-2xy) - (2y^2-xy)}{x^2y^2} = \frac{x^2-2xy - 2y^2+xy}{x^2y^2} = \frac{x^2-xy-2y^2}{x^2y^2}$

Числитель можно разложить на множители: $x^2-xy-2y^2 = (x-2y)(x+y)$.

Ответ: $\frac{x^2-xy-2y^2}{x^2y^2}$ или $\frac{(x-2y)(x+y)}{x^2y^2}$.