Номер 82, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 82, страница 26.

82. Преобразуйте в дробь выражение:

a) x +1y;

б) 1a - a;

в) 3a - a4;

г) 5b - 2b;

д) a² + ba - a;

е) 2p - 4p² + 12p;

ж) (a - b)²2a+ b;

з) c -(b + c)²2b.

a) $x+\frac{1}{y}=\frac{xy+1}{y};$

б) $\frac{1}{a}-a=\frac{1-a^2}{a};$

в) $3a-\frac{a}{4}=\frac{12a-a}{4}=\frac{11a}{4};$

г) $5b-\frac{2}{b}=\frac{5b^2-2}{b}$

д) $\frac{a^2+b}{a}-a=\frac{a^2+b-a^2}{a}=\frac{b}{a}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}2p-\frac{4p^2+1}{2p}=\frac{4p^2-(4p^2+1)}{2p}= \\ =\frac{4p^2-4p^2-1}{2p}=-\frac{1}{2p} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{{(a-b)}^2}{2a}+b=\frac{{(a-b)}^2+2ab}{2a}= \\ =\frac{a^2-2ab+b^2+2ab}{2a}=\frac{a^2+b^2}{2a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}c-\frac{{(b+c)}^2}{2b}=\frac{2bc-{(b+c)}^2}{2b}= \\ =\frac{2bc-(b^2+2bc+c^2)}{2b}=\frac{2bc-b^2-2bc-c^2}{2b}= \\ =\frac{-b^2-c^2}{2b}=-\frac{b^2+c^2}{2b} \end{gathered}$$

а) Чтобы преобразовать выражение $x + \frac{1}{y}$ в дробь, необходимо привести слагаемые к общему знаменателю. Общим знаменателем является $y$. Представим $x$ в виде дроби со знаменателем $y$: $x = \frac{x \cdot y}{y} = \frac{xy}{y}$. Теперь выполним сложение дробей: $x + \frac{1}{y} = \frac{xy}{y} + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}$.
Ответ: $\frac{xy + 1}{y}$

б) Для преобразования выражения $\frac{1}{a} - a$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $a$. Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $a$: $a = \frac{a \cdot a}{a} = \frac{a^2}{a}$. Теперь выполним вычитание дробей: $\frac{1}{a} - a = \frac{1}{a} - \frac{a^2}{a} = \frac{1 - a^2}{a}$.
Ответ: $\frac{1 - a^2}{a}$

в) Чтобы преобразовать выражение $3a - \frac{a}{4}$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $4$. Представим $3a$ в виде дроби со знаменателем $4$: $3a = \frac{3a \cdot 4}{4} = \frac{12a}{4}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{12a}{4} - \frac{a}{4} = \frac{12a - a}{4} = \frac{11a}{4}$.
Ответ: $\frac{11a}{4}$

г) Для преобразования выражения $5b - \frac{2}{b}$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $b$. Представим $5b$ в виде дроби со знаменателем $b$: $5b = \frac{5b \cdot b}{b} = \frac{5b^2}{b}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{5b^2}{b} - \frac{2}{b} = \frac{5b^2 - 2}{b}$.
Ответ: $\frac{5b^2 - 2}{b}$

д) Чтобы преобразовать выражение $\frac{a^2 + b}{a} - a$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $a$. Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $a$: $a = \frac{a \cdot a}{a} = \frac{a^2}{a}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{a^2 + b}{a} - \frac{a^2}{a} = \frac{(a^2 + b) - a^2}{a} = \frac{a^2 + b - a^2}{a} = \frac{b}{a}$.
Ответ: $\frac{b}{a}$

е) Для преобразования выражения $2p - \frac{4p^2 + 1}{2p}$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $2p$. Представим $2p$ в виде дроби со знаменателем $2p$: $2p = \frac{2p \cdot 2p}{2p} = \frac{4p^2}{2p}$. Теперь выполним вычитание, обращая внимание на знак минус перед дробью: $\frac{4p^2}{2p} - \frac{4p^2 + 1}{2p} = \frac{4p^2 - (4p^2 + 1)}{2p} = \frac{4p^2 - 4p^2 - 1}{2p} = \frac{-1}{2p} = -\frac{1}{2p}$.
Ответ: $-\frac{1}{2p}$

ж) Чтобы преобразовать выражение $\frac{(a - b)^2}{2a} + b$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $2a$. Представим $b$ как $\frac{2ab}{2a}$. Раскроем квадрат разности в числителе: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Теперь сложим дроби: $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{2a} + \frac{2ab}{2a} = \frac{a^2 - 2ab + b^2 + 2ab}{2a} = \frac{a^2 + b^2}{2a}$.
Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{2a}$

з) Для преобразования выражения $c - \frac{(b + c)^2}{2b}$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $2b$. Представим $c$ как $\frac{2bc}{2b}$. Раскроем квадрат суммы в числителе второй дроби: $(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$. Теперь выполним вычитание: $\frac{2bc}{2b} - \frac{b^2 + 2bc + c^2}{2b} = \frac{2bc - (b^2 + 2bc + c^2)}{2b} = \frac{2bc - b^2 - 2bc - c^2}{2b} = \frac{-b^2 - c^2}{2b} = -\frac{b^2 + c^2}{2b}$.
Ответ: $-\frac{b^2 + c^2}{2b}$