Номер 89, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 89, страница 27.

89. Докажите, что при всех допустимых значениях y значение выражения не зависит от y:

a) 5y + 32y + 2 - 7y + 43y + 3;

б) 11y + 133y - 3 + 15y + 174 - 4y.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5y+3}{2y+2}-\frac{7y+4}{3y+3}=\frac{5y+3}{2(y+1)}-\frac{7y+4}{3(y+1)}= \\ =\frac{3(5y+3)}{6(y+1)}-\frac{2(7y+4)}{6(y+1)}= \\ =\frac{15y+9-14y-8}{6(y+1)}=\frac{y+1}{6(y+1)}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{11y+13}{3y-3}+\frac{15y+17}{4-4y}=\frac{11y+13}{3(y-1)}+ \\ +\frac{15y+17}{4(1-y)}=\frac{11y+13}{3(y-1)}-\frac{15y+17}{4(y-1)}= \\ =\frac{4(11y+13)}{12(y-1)}-\frac{3(15y+17)}{12(y-1)}= \\ =\frac{44y+52-45y-51}{12(y-1)}=\frac{1-y}{-12(1-y)}=-\frac{1}{12} \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от y при всех допустимых значениях, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения переменная y исчезнет, то утверждение будет доказано.

Исходное выражение: $\frac{5y+3}{2y+2} - \frac{7y+4}{3y+3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной y. Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$2y+2 \neq 0 \implies 2(y+1) \neq 0 \implies y \neq -1$

$3y+3 \neq 0 \implies 3(y+1) \neq 0 \implies y \neq -1$

Таким образом, ОДЗ: $y$ - любое действительное число, кроме $-1$.

Теперь приступим к упрощению выражения. Вынесем общие множители в знаменателях:

$\frac{5y+3}{2(y+1)} - \frac{7y+4}{3(y+1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2(y+1)$ и $3(y+1)$ равен $6(y+1)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 2:

$\frac{3(5y+3)}{6(y+1)} - \frac{2(7y+4)}{6(y+1)}$

Запишем разность дробей как одну дробь:

$\frac{3(5y+3) - 2(7y+4)}{6(y+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{15y+9 - (14y+8)}{6(y+1)} = \frac{15y+9 - 14y - 8}{6(y+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(15y-14y) + (9-8)}{6(y+1)} = \frac{y+1}{6(y+1)}$

Так как из ОДЗ мы знаем, что $y \neq -1$, то $y+1 \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $(y+1)$:

$\frac{y+1}{6(y+1)} = \frac{1}{6}$

Результат упрощения — число $\frac{1}{6}$, которое не зависит от переменной y. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{11y+13}{3y-3} + \frac{15y+17}{4-4y}$.

Определим ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$3y-3 \neq 0 \implies 3(y-1) \neq 0 \implies y \neq 1$

$4-4y \neq 0 \implies 4(1-y) \neq 0 \implies y \neq 1$

ОДЗ: $y$ - любое действительное число, кроме $1$.

Упростим выражение. Вынесем общие множители в знаменателях:

$\frac{11y+13}{3(y-1)} + \frac{15y+17}{4(1-y)}$

Чтобы привести знаменатели к общему виду, вынесем $-1$ из скобки в знаменателе второй дроби: $4(1-y) = -4(y-1)$.

$\frac{11y+13}{3(y-1)} + \frac{15y+17}{-4(y-1)} = \frac{11y+13}{3(y-1)} - \frac{15y+17}{4(y-1)}$

Наименьший общий знаменатель равен $12(y-1)$. Домножим первую дробь на 4, а вторую на 3:

$\frac{4(11y+13)}{12(y-1)} - \frac{3(15y+17)}{12(y-1)}$

Объединим дроби:

$\frac{4(11y+13) - 3(15y+17)}{12(y-1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{44y+52 - (45y+51)}{12(y-1)} = \frac{44y+52 - 45y - 51}{12(y-1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(44y-45y) + (52-51)}{12(y-1)} = \frac{-y+1}{12(y-1)}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $-y+1 = -(y-1)$.

$\frac{-(y-1)}{12(y-1)}$

Так как из ОДЗ $y \neq 1$, то $y-1 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(y-1)$:

$\frac{-(y-1)}{12(y-1)} = -\frac{1}{12}$

Результат упрощения — число $-\frac{1}{12}$, которое не зависит от переменной y. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $-\frac{1}{12}$.