Номер 92, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 92, страница 27.

92. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 1 - a + ba - b;

б) a² + b²a - b - a;

в) m - n +n²m + n;

г) a + b -a² + b²a + b;

д) x - 9x - 3 - 3;

е) a² - a⁴ + 1a² - 1 + 1.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}1-\frac{a+b}{a-b}=\frac{(a-b)-(a+b)}{a-b}= \\ =\frac{a-b-a-b}{a-b}=-\frac{2b}{a-b}=\frac{2b}{b-a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a^2+b^2}{a-b}-a=\frac{a^2+b^2-a(a-b)}{a-b}= \\ =\frac{a^2+b^2-a^2+ab}{a-b}=\frac{b^2+ab}{a-b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}m-n+\frac{n^2}{m+n}=\frac{(m-n)(m+n)+n^2}{m+n}= \\ =\frac{m^2-n^2+n^2}{m+n}=\frac{m^2}{m+n} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}a+b-\frac{a^2+b^2}{a+b}=\frac{{(a+b)}^2-(a^2+b^2)}{a+b}= \\ =\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a+b}=\frac{2ab}{a+b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}x-\frac{9}{x-3}-3=\frac{x(x-3)-9-3(x-3)}{x-3}= \\ =\frac{x^2-3x-9-3x+9}{x-3}=\frac{x^2-6x}{x-3} \end{gathered}$$

е) $a^2-\frac{a^4+1}{a^2-1}+1=\frac{a^2(a^2-1)-(a^4+1)+(a^2-1)}{a^2-1}=$
$=\frac{a^4-a^2-a^4-1+a^2-1}{a^2-1}=-\frac{2}{a^2-1}=\frac{2}{1-a^2}$

а) Чтобы преобразовать выражение в дробь, представим 1 как дробь со знаменателем $a-b$ и выполним вычитание.

$1 - \frac{a+b}{a-b} = \frac{1 \cdot (a-b)}{a-b} - \frac{a+b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b} - \frac{a+b}{a-b}$

Теперь объединим дроби, вычитая числители:

$\frac{(a-b) - (a+b)}{a-b} = \frac{a-b-a-b}{a-b} = \frac{-2b}{a-b}$

Ответ: $\frac{-2b}{a-b}$

б) Чтобы преобразовать выражение в дробь, представим $a$ как дробь со знаменателем $a-b$ и выполним вычитание.

$\frac{a^2+b^2}{a-b} - a = \frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a^2-ab}{a-b}$

Объединим дроби:

$\frac{(a^2+b^2) - (a^2-ab)}{a-b} = \frac{a^2+b^2-a^2+ab}{a-b} = \frac{b^2+ab}{a-b}$

Вынесем общий множитель $b$ в числителе:

$\frac{b(b+a)}{a-b}$

Ответ: $\frac{b^2+ab}{a-b}$

в) Сначала сгруппируем первые два члена, а затем приведем все выражение к общему знаменателю $m+n$.

$m - n + \frac{n^2}{m+n} = \frac{(m-n)(m+n)}{m+n} + \frac{n^2}{m+n}$

Применим формулу разности квадратов к числителю первой дроби: $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$.

$\frac{m^2-n^2}{m+n} + \frac{n^2}{m+n} = \frac{m^2-n^2+n^2}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}$

Ответ: $\frac{m^2}{m+n}$

г) Сгруппируем первые два члена и приведем все выражение к общему знаменателю $a+b$.

$a + b - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a+b)^2}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b}$

Раскроем квадрат суммы в числителе первой дроби: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$\frac{a^2+2ab+b^2}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2+b^2)}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$

д) Сгруппируем члены, не являющиеся дробью, и приведем выражение к общему знаменателю $x-3$.

$x - \frac{9}{x-3} - 3 = (x-3) - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)(x-3)}{x-3} - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)^2 - 9}{x-3}$

Числитель является разностью квадратов $(x-3)^2 - 3^2$, которую можно разложить на множители:

$\frac{((x-3)-3)((x-3)+3)}{x-3} = \frac{(x-6)x}{x-3} = \frac{x^2-6x}{x-3}$

Ответ: $\frac{x^2-6x}{x-3}$

е) Сгруппируем члены, не являющиеся дробью, и приведем выражение к общему знаменателю $a^2-1$.

$a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1 = (a^2+1) - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1}$

Используем формулу разности квадратов в числителе первой дроби: $(a^2+1)(a^2-1) = (a^2)^2-1^2=a^4-1$.

$\frac{a^4-1}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^4-1) - (a^4+1)}{a^2-1} = \frac{a^4-1-a^4-1}{a^2-1} = \frac{-2}{a^2-1}$

Ответ: $\frac{-2}{a^2-1}$