Номер 88, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 88, страница 26.

88. Выполните действие:

a) p2x + 1 - p3x - 2;

б) 6ax - 2y + 2ax + y;

в) a5x - 10 + a6x - 12;

г) 5b12a - 36 - b48 - 16a.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{p}{2x+1}-\frac{p}{3x-2}=\frac{p(3x-2)-p(2x+1)}{(2x+1)(3x-2)}= \\ =\frac{3px-2p-2px-p}{(2x+1)(3x-2)}=\frac{px-3p}{6x^2-4x+3x-2}= \\ =\frac{px-3p}{6x^2-x-2} \end{gathered}$$

б) $\frac{6a}{x-2y}+\frac{2a}{x+y}=\frac{6a(x+y)+2a(x-2y)}{(x-2y)(x+y)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{6ax+6ay+2ax-4ay}{(x-2y)(x+y)}= \\ =\frac{8ax+2ay}{x^2+xy-2xy-2y^2}=\frac{8ax+2ay}{x^2-xy-2y^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{a}{5x-10}+\frac{a}{6x-12}=\frac{a}{5(x-2)}+\frac{a}{6(x-2)}= \\ =\frac{6a}{30(x-2)}+\frac{5a}{30(x-2)}=\frac{11a}{30(x-2)}=\frac{11a}{30x-60} \end{gathered}$$

г) $\frac{5b}{12a-36}-\frac{b}{48-16a}=\frac{5b}{12(a-3)}-\frac{b}{16(3-a)}=$
$$\begin{gathered} =\frac{5b}{12(a-3)}+\frac{b}{16(a-3)}=\frac{20b}{48(a-3)}+ \\ +\frac{3b}{48(a-3)}=\frac{23b}{48(a-3)}=\frac{23b}{48a-144} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{p}{2x+1} - \frac{p}{3x-2}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели $2x+1$ и $3x-2$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель равен их произведению: $(2x+1)(3x-2)$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $3x-2$, а второй — на $2x+1$:
$\frac{p(3x-2)}{(2x+1)(3x-2)} - \frac{p(2x+1)}{(2x+1)(3x-2)}$
Выполним вычитание числителей под общим знаменателем:
$\frac{p(3x-2) - p(2x+1)}{(2x+1)(3x-2)} = \frac{3px - 2p - (2px + p)}{(2x+1)(3x-2)} = \frac{3px - 2p - 2px - p}{(2x+1)(3x-2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе и вынесем общий множитель $p$ за скобки:
$\frac{px - 3p}{(2x+1)(3x-2)} = \frac{p(x-3)}{(2x+1)(3x-2)}$
Ответ: $\frac{p(x-3)}{(2x+1)(3x-2)}$

б) Чтобы сложить дроби $\frac{6a}{x-2y} + \frac{2a}{x+y}$, приведем их к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(x-2y)(x+y)$.
Домножим первую дробь на $x+y$, а вторую — на $x-2y$:
$\frac{6a(x+y)}{(x-2y)(x+y)} + \frac{2a(x-2y)}{(x-2y)(x+y)}$
Сложим числители под общим знаменателем:
$\frac{6a(x+y) + 2a(x-2y)}{(x-2y)(x+y)} = \frac{6ax + 6ay + 2ax - 4ay}{(x-2y)(x+y)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе и вынесем общий множитель $2a$ за скобки:
$\frac{8ax + 2ay}{(x-2y)(x+y)} = \frac{2a(4x+y)}{(x-2y)(x+y)}$
Ответ: $\frac{2a(4x+y)}{(x-2y)(x+y)}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{a}{5x-10} + \frac{a}{6x-12}$. Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти наименьший общий знаменатель.
$5x-10 = 5(x-2)$
$6x-12 = 6(x-2)$
Наименьший общий знаменатель — это произведение наименьшего общего кратного коэффициентов (НОК(5, 6) = 30) и общего множителя $(x-2)$, то есть $30(x-2)$.
Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 6, для второй — 5:
$\frac{a \cdot 6}{5(x-2) \cdot 6} + \frac{a \cdot 5}{6(x-2) \cdot 5} = \frac{6a}{30(x-2)} + \frac{5a}{30(x-2)}$
Сложим числители:
$\frac{6a+5a}{30(x-2)} = \frac{11a}{30(x-2)}$
Ответ: $\frac{11a}{30(x-2)}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{5b}{12a-36} - \frac{b}{48-16a}$. Разложим знаменатели на множители:
$12a-36 = 12(a-3)$
$48-16a = 16(3-a) = -16(a-3)$
Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:
$\frac{5b}{12(a-3)} - \frac{b}{-16(a-3)}$
Знак "минус" в знаменателе второй дроби можно вынести перед дробью, что изменит знак операции на "плюс":
$\frac{5b}{12(a-3)} + \frac{b}{16(a-3)}$
Теперь найдем общий знаменатель для $12(a-3)$ и $16(a-3)$. НОК(12, 16) = 48. Общий знаменатель равен $48(a-3)$.
Домножим первую дробь на 4, а вторую на 3:
$\frac{5b \cdot 4}{48(a-3)} + \frac{b \cdot 3}{48(a-3)} = \frac{20b}{48(a-3)} + \frac{3b}{48(a-3)}$
Сложим числители:
$\frac{20b+3b}{48(a-3)} = \frac{23b}{48(a-3)}$
Ответ: $\frac{23b}{48(a-3)}$