Номер 86, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 86, страница 26.

86. Представьте выражение в виде дроби:

a) b - cb + bb + c;

б) x + 1x - 2 - x + 3x;

в) mm - n - nm + n;

г) 2a2a - 1 - 12a + 1;

д) aa + 2 - aa - 2;

е) p3p - 1 - p1 + 3p.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{b-c}{b}+\frac{b}{b+c}=\frac{(b-c)(b+c)}{b(b+c)}+\frac{b^2}{b(b+c)}= \\ =\frac{b^2-c^2+b^2}{b(b+c)}=\frac{2b^2-c^2}{b^2+bc} \end{gathered}$$

б) $\frac{x+1}{x-2}-\frac{x+3}{x}=\frac{x(x+1)}{x(x-2)}-\frac{(x-2)(x+3)}{x(x-2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{x^2+x-(x^2+3x-2x-6)}{x(x-2)}= \\ =\frac{x^2+x-x^2-x+6}{x(x-2)}=\frac{6}{x^2-2x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{m}{m-n}-\frac{n}{m+n}=\frac{m(m+n)-n(m-n)}{(m-n)(m+n)}= \\ =\frac{m^2+mn-mn+n^2}{m^2-n^2}=\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{2a}{2a-1}-\frac{1}{2a+1}=\frac{2a(2a+1)-(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)}= \\ =\frac{4a^2+2a-2a+1}{(2a-1)(2a+1)}=\frac{4a^2+1}{4a^2-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{a}{a+2}-\frac{a}{a-2}=\frac{a(a-2)-a(a+2)}{(a+2)(a-2)}= \\ =\frac{a^2-2a-a^2-2a}{(a+2)(a-2)}=\frac{-4a}{a^2-4}= \\ =-\frac{4a}{a^2-4}=\frac{4a}{4-a^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{p}{3p-1}-\frac{p}{1+3p}=\frac{p(3p+1)-p(3p-1)}{(3p-1)(3p+1)}= \\ =\frac{3p^2+p-3p^2+p}{(3p-1)(3p+1)}=\frac{2p}{9p^2-1} \end{gathered}$$

а) $\frac{b-c}{b} + \frac{b}{b+c}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей со знаменателями $b$ и $b+c$ — это их произведение $b(b+c)$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(b+c)$, а второй дроби — на $b$:
$\frac{(b-c)(b+c)}{b(b+c)} + \frac{b \cdot b}{b(b+c)} = \frac{(b-c)(b+c) + b^2}{b(b+c)}$
Раскроем скобки в числителе. Выражение $(b-c)(b+c)$ является формулой разности квадратов: $b^2 - c^2$.
$\frac{b^2 - c^2 + b^2}{b(b+c)} = \frac{2b^2 - c^2}{b(b+c)}$
Ответ: $\frac{2b^2 - c^2}{b(b+c)}$

б) $\frac{x+1}{x-2} - \frac{x+3}{x}$
Общий знаменатель для дробей со знаменателями $x-2$ и $x$ — это $x(x-2)$.
Приведем дроби к общему знаменателю: домножим первую дробь на $x$, а вторую на $(x-2)$:
$\frac{(x+1)x}{x(x-2)} - \frac{(x+3)(x-2)}{x(x-2)} = \frac{x(x+1) - (x+3)(x-2)}{x(x-2)}$
Раскроем скобки в числителе:
$x(x+1) = x^2+x$
$(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$
Подставим полученные выражения в числитель и упростим:
$(x^2+x) - (x^2 + x - 6) = x^2+x - x^2 - x + 6 = 6$
В результате получаем дробь:
$\frac{6}{x(x-2)}$
Ответ: $\frac{6}{x(x-2)}$

в) $\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n}$
Общий знаменатель — $(m-n)(m+n)$. Это формула разности квадратов, равная $m^2-n^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m(m+n) - n(m-n)}{m^2 - n^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$m(m+n) = m^2 + mn$
$n(m-n) = mn - n^2$
Подставим и упростим числитель:
$(m^2 + mn) - (mn - n^2) = m^2 + mn - mn + n^2 = m^2 + n^2$
Итоговая дробь:
$\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}$
Ответ: $\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}$

г) $\frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a+1}$
Общий знаменатель — $(2a-1)(2a+1)$. Это формула разности квадратов, равная $(2a)^2 - 1^2 = 4a^2-1$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{2a(2a+1)}{(2a-1)(2a+1)} - \frac{1(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a(2a+1) - (2a-1)}{4a^2 - 1}$
Раскроем скобки в числителе:
$2a(2a+1) = 4a^2 + 2a$
Подставим и упростим числитель:
$(4a^2 + 2a) - (2a-1) = 4a^2 + 2a - 2a + 1 = 4a^2 + 1$
Итоговая дробь:
$\frac{4a^2 + 1}{4a^2 - 1}$
Ответ: $\frac{4a^2 + 1}{4a^2 - 1}$

д) $\frac{a}{a+2} - \frac{a}{a-2}$
Общий знаменатель — $(a+2)(a-2)$, что по формуле разности квадратов равно $a^2-4$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)} - \frac{a(a+2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a(a-2) - a(a+2)}{a^2 - 4}$
Раскроем скобки в числителе:
$a(a-2) = a^2 - 2a$
$a(a+2) = a^2 + 2a$
Подставим и упростим числитель:
$(a^2 - 2a) - (a^2 + 2a) = a^2 - 2a - a^2 - 2a = -4a$
Итоговая дробь:
$\frac{-4a}{a^2 - 4}$
Ответ: $\frac{-4a}{a^2 - 4}$

е) $\frac{p}{3p-1} - \frac{p}{1+3p}$
Заметим, что $1+3p = 3p+1$. Выражение принимает вид $\frac{p}{3p-1} - \frac{p}{3p+1}$.
Общий знаменатель — $(3p-1)(3p+1)$, что по формуле разности квадратов равно $(3p)^2 - 1^2 = 9p^2-1$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{p(3p+1)}{(3p-1)(3p+1)} - \frac{p(3p-1)}{(3p-1)(3p+1)} = \frac{p(3p+1) - p(3p-1)}{9p^2 - 1}$
Раскроем скобки в числителе:
$p(3p+1) = 3p^2 + p$
$p(3p-1) = 3p^2 - p$
Подставим и упростим числитель:
$(3p^2 + p) - (3p^2 - p) = 3p^2 + p - 3p^2 + p = 2p$
Итоговая дробь:
$\frac{2p}{9p^2 - 1}$
Ответ: $\frac{2p}{9p^2 - 1}$