Номер 91, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 91, страница 27.

91. Выполните действие:

a) 1a² + ab + 1ab + b²;

б) 1b² - ab - 1ab - a².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{ab+b^2}=\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}= \\ =\frac{b}{ab(a+b)}+\frac{a}{ab(a+b)}=\frac{a+b}{ab(a+b)}=\frac{1}{ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{b^2-ab}-\frac{1}{ab-a^2}=\frac{1}{b(b-a)}-\frac{1}{a(b-a)}= \\ =\frac{a}{ab(b-a)}-\frac{b}{ab(b-a)}=\frac{a-b}{-ab(a-b)}=-\frac{1}{ab} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить сложение дробей $ \frac{1}{a^2 + ab} + \frac{1}{ab + b^2} $, сначала необходимо найти общий знаменатель. Для этого разложим знаменатели на множители.
В знаменателе первой дроби вынесем за скобки общий множитель $a$:
$ a^2 + ab = a(a+b) $
В знаменателе второй дроби вынесем за скобки общий множитель $b$:
$ ab + b^2 = b(a+b) $
Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)} $
Наименьшим общим знаменателем будет произведение всех уникальных множителей, то есть $ ab(a+b) $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, а для второй — $a$.
$ \frac{1 \cdot b}{a(a+b) \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b(a+b) \cdot a} = \frac{b}{ab(a+b)} + \frac{a}{ab(a+b)} $
Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{b+a}{ab(a+b)} $
В числителе и знаменателе есть общий множитель $ (a+b) $, на который можно сократить дробь:
$ \frac{a+b}{ab(a+b)} = \frac{1}{ab} $
Ответ: $ \frac{1}{ab} $

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{1}{b^2 - ab} - \frac{1}{ab - a^2} $, так же, как и в предыдущем примере, разложим знаменатели на множители.
В знаменателе первой дроби вынесем за скобки общий множитель $b$:
$ b^2 - ab = b(b-a) $
В знаменателе второй дроби вынесем за скобки общий множитель $a$:
$ ab - a^2 = a(b-a) $
Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{1}{b(b-a)} - \frac{1}{a(b-a)} $
Общий знаменатель для этих дробей — $ ab(b-a) $. Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, а для второй — $b$.
$ \frac{1 \cdot a}{b(b-a) \cdot a} - \frac{1 \cdot b}{a(b-a) \cdot b} = \frac{a}{ab(b-a)} - \frac{b}{ab(b-a)} $
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{a-b}{ab(b-a)} $
Заметим, что выражения в числителе и в скобках в знаменателе отличаются только знаком: $ a-b = -(b-a) $.
$ \frac{-(b-a)}{ab(b-a)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (b-a) $:
$ \frac{-1}{ab} = -\frac{1}{ab} $
Ответ: $ -\frac{1}{ab} $