Номер 96, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 96, страница 27.

96. Выполните действие:

a) a + 4a² - 2a - aa² - 4;

б) 4 - x²16 - x² - x + 1x + 4;

в) (a + b)²a² - ab + (a - b)²a² - ab;

г) x² - 45x - 10 - x² + 4x + 45x + 10;

a) $\frac{a+4}{a^2-2a}-\frac{a}{a^2-4}=\frac{a+4}{a(a-2)}-\frac{a}{(a-2)(a+2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(a+4)(a+2)-a^2}{a(a-2)(a+2)}=\frac{a^2+2a+4a+8-a^2}{a(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{6a+8}{a(a^2-4)}=\frac{6a+8}{a^3-4a} \end{gathered}$$

б) $\frac{4-x^2}{16-x^2}-\frac{x+1}{x+4}=\frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)}-\frac{x+1}{4+x}=$

$$\begin{gathered} =\frac{4-x^2-(x+1)(4-x)}{(4-x)(4+x)}= \\ =\frac{4-x^2-(4x-x^2+4-x)}{(4-x)(4+x)}= \\ =\frac{4-x^2-4x+x^2-4+x}{(4-x)(4+x)}=\frac{-3x}{16-x^2}= \\ =-\frac{3x}{16-x^2}=\frac{3x}{x^2-16} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{(a+b)}^2}{a^2+ab}+\frac{{(a-b)}^2}{a^2-ab}=\frac{{(a+b)}^2}{a(a+b)}+\frac{{(a-b)}^2}{a(a-b)}= \\ =\frac{a+b}{a}+\frac{a-b}{a}=\frac{a+b+a-b}{a}=\frac{2a}{a}=2 \end{gathered}$$

г) $\frac{x^2-4}{5x-10}-\frac{x^2+4x+4}{5x+10}=\frac{x^2-4}{5(x-2)}-\frac{x^2+4x+4}{5(x+2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{x^2-4}{5(x-2)}-\frac{{(x+2)}^2}{5(x+2)}=\frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)}-\frac{x+2}{5}= \\ =\frac{(x+2)-(x+2)}{5}=\frac{0}{5}=0 \end{gathered}$$

а) $ \frac{a+4}{a^2-2a} - \frac{a}{a^2-4} $
Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ a^2 - 2a = a(a-2) $.
Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $ a^2 - 4 = (a-2)(a+2) $.
Наименьший общий знаменатель равен $ a(a-2)(a+2) $.
Дополнительный множитель для первой дроби — $ (a+2) $, для второй — $ a $.
$ \frac{a+4}{a(a-2)} - \frac{a}{(a-2)(a+2)} = \frac{(a+4)(a+2)}{a(a-2)(a+2)} - \frac{a \cdot a}{a(a-2)(a+2)} $
Теперь выполним действия в числителе:
$ \frac{(a^2+2a+4a+8) - a^2}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+6a+8-a^2}{a(a-2)(a+2)} = \frac{6a+8}{a(a-2)(a+2)} $
Можно вынести общий множитель 2 в числителе:
$ \frac{2(3a+4)}{a(a^2-4)} $
Ответ: $ \frac{6a+8}{a(a^2-4)} $.

б) $ \frac{4-x^2}{16-x^2} - \frac{x+1}{x+4} $
Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $ 16-x^2 = (4-x)(4+x) $.
Выражение принимает вид:
$ \frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)} - \frac{x+1}{x+4} $
Общий знаменатель — $ (4-x)(4+x) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (4-x) $:
$ \frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)} - \frac{(x+1)(4-x)}{(4+x)(4-x)} $
Выполним вычитание под общим знаменателем:
$ \frac{4-x^2 - (x+1)(4-x)}{(4-x)(4+x)} = \frac{4-x^2 - (4x-x^2+4-x)}{(4-x)(4+x)} $
Упростим выражение в числителе:
$ \frac{4-x^2 - (3x-x^2+4)}{16-x^2} = \frac{4-x^2-3x+x^2-4}{16-x^2} = \frac{-3x}{16-x^2} $
Ответ: $ \frac{-3x}{16-x^2} $.

в) $ \frac{(a+b)^2}{a^2+ab} + \frac{(a-b)^2}{a^2-ab} $
Разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки:
$ a^2+ab = a(a+b) $
$ a^2-ab = a(a-b) $
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{(a+b)^2}{a(a+b)} + \frac{(a-b)^2}{a(a-b)} $
Сократим дроби (при условии, что $ a \neq 0, a+b \neq 0, a-b \neq 0 $):
$ \frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{a} $
Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$ \frac{(a+b) + (a-b)}{a} = \frac{a+b+a-b}{a} = \frac{2a}{a} $
Сократим на $ a $:
$ \frac{2a}{a} = 2 $
Ответ: $ 2 $.

г) $ \frac{x^2-4}{5x-10} - \frac{x^2+4x+4}{5x+10} $
Разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби.
Для первой дроби: $ x^2-4=(x-2)(x+2) $ и $ 5x-10=5(x-2) $.
Для второй дроби: $ x^2+4x+4=(x+2)^2 $ и $ 5x+10=5(x+2) $.
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)} - \frac{(x+2)^2}{5(x+2)} $
Сократим дроби (при условии, что $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $):
$ \frac{x+2}{5} - \frac{x+2}{5} $
Дроби одинаковы, поэтому их разность равна нулю.
$ \frac{x+2}{5} - \frac{x+2}{5} = 0 $
Ответ: $ 0 $.