Номер 95, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 95, страница 27.

95. Преобразуйте в дробь выражение:

a) b - 64 - b² + 22b - b²;

б) bab - 5a² - 15b - 25ab² - 25a²;

в) x - 12ax² - 16a² - 4a4ax - x²;

г) a - 30ya² - 100y² - 10y10ay - a²;

a) $\frac{b-6}{4-b^2}+\frac{2}{2b-b^2}=\frac{b-6}{(2-b)(2+b)}+\frac{2}{b(2-b)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{b(b-6)+2(2+b)}{b(2-b)(2+b)}=\frac{b^2-6b+4+2b}{b(2-b)(2+b)}= \\ =\frac{b^2-4b+4}{b(2-b)(2+b)}=\frac{{(2-b)}^2}{b(2-b)(2+b)}=\frac{2-b}{2b+b^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{b}{ab-5a^2}-\frac{15b-25a}{b^2-25a^2}= \\ =\frac{b}{a(b-5a)}-\frac{5(3b-5a)}{(b-5a)(b+5a)}= \\ =\frac{b(b+5a)-(15b-25a)a}{a(b-5a)(b+5a)}= \\ =\frac{b^2+5ab-15ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}= \\ =\frac{b^2-10ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}=\frac{{(b-5a)}^2}{a(b-5a)(b+5a)}= \\ =\frac{b-5a}{a(b+5a)}=\frac{b-5a}{ab+5a^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x-12a}{x^2-16a^2}-\frac{4a}{4ax-x^2}= \\ =\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)}-\frac{4a}{x(4a-x)}= \\ =\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)}+\frac{4a}{x(x-4a)}= \\ =\frac{x(x-12a)+4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)}= \\ =\frac{x^2-12ax+4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}= \\ =\frac{x^2-8ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}=\frac{{(x-4a)}^2}{x(x-4a)(x+4a)}= \\ =\frac{x-4a}{x(x+4a)}=\frac{x-4a}{x^2+4ax} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a-30y}{a^2-100y^2}-\frac{10y}{10ay-a^2}= \\ =\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)}-\frac{10y}{a(10y-a)}= \\ =\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)}+\frac{10y}{a(a-10y)}= \\ =\frac{a(a-30y)+10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)}= \\ =\frac{a^2-30ay+10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}= \\ =\frac{a^2-20ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}=\frac{{(a-10y)}^2}{a(a-10y)(a+10y)}= \\ =\frac{a-10y}{a(a+10y)}=\frac{a-10y}{a^2+10ay} \end{gathered}$$

а) $\frac{b-6}{4-b^2} + \frac{2}{2b-b^2}$

Сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $4-b^2$ является разностью квадратов: $4-b^2 = (2-b)(2+b)$. Знаменатель второй дроби $2b-b^2$ имеет общий множитель $b$: $2b-b^2 = b(2-b)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{b-6}{(2-b)(2+b)} + \frac{2}{b(2-b)}$

Общий знаменатель для этих дробей - $b(2-b)(2+b)$. Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - $b$, для второй - $(2+b)$.

$\frac{(b-6) \cdot b}{b(2-b)(2+b)} + \frac{2 \cdot (2+b)}{b(2-b)(2+b)} = \frac{b^2-6b}{b(2-b)(2+b)} + \frac{4+2b}{b(2-b)(2+b)}$

Теперь сложим числители:

$\frac{b^2-6b+4+2b}{b(2-b)(2+b)} = \frac{b^2-4b+4}{b(2-b)(2+b)}$

Числитель $b^2-4b+4$ является полным квадратом разности: $(b-2)^2$. Заметим, что $(b-2)^2 = (-(2-b))^2 = (2-b)^2$.

Подставим это в дробь:

$\frac{(2-b)^2}{b(2-b)(2+b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2-b)$ (при условии $b \neq 2$):

$\frac{2-b}{b(2+b)}$

Ответ: $\frac{2-b}{b(2+b)}$

б) $\frac{b}{ab-5a^2} - \frac{15b-25a}{b^2-25a^2}$

Разложим знаменатели на множители. В знаменателе первой дроби $ab-5a^2$ вынесем общий множитель $a$: $a(b-5a)$. Знаменатель второй дроби $b^2-25a^2$ - это разность квадратов: $(b-5a)(b+5a)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{b}{a(b-5a)} - \frac{15b-25a}{(b-5a)(b+5a)}$

Общий знаменатель равен $a(b-5a)(b+5a)$. Дополнительный множитель для первой дроби - $(b+5a)$, для второй - $a$.

$\frac{b(b+5a)}{a(b-5a)(b+5a)} - \frac{(15b-25a)a}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b^2+5ab}{a(b-5a)(b+5a)} - \frac{15ab-25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{b^2+5ab - (15ab-25a^2)}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b^2+5ab-15ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b^2-10ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}$

Числитель $b^2-10ab+25a^2$ является полным квадратом разности: $(b-5a)^2$.

Подставим в дробь:

$\frac{(b-5a)^2}{a(b-5a)(b+5a)}$

Сократим на общий множитель $(b-5a)$ (при $b \neq 5a$):

$\frac{b-5a}{a(b+5a)}$

Ответ: $\frac{b-5a}{a(b+5a)}$

в) $\frac{x-12a}{x^2-16a^2} - \frac{4a}{4ax-x^2}$

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $x^2-16a^2$ - это разность квадратов: $(x-4a)(x+4a)$. В знаменателе второй дроби $4ax-x^2$ вынесем общий множитель $x$: $x(4a-x)$.

Заметим, что $4a-x = -(x-4a)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{4a}{4ax-x^2} = \frac{4a}{x(4a-x)} = \frac{4a}{-x(x-4a)} = -\frac{4a}{x(x-4a)}$

Исходное выражение примет вид:

$\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} - (-\frac{4a}{x(x-4a)}) = \frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} + \frac{4a}{x(x-4a)}$

Общий знаменатель равен $x(x-4a)(x+4a)$. Дополнительный множитель для первой дроби - $x$, для второй - $(x+4a)$.

$\frac{(x-12a)x}{x(x-4a)(x+4a)} + \frac{4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x^2-12ax}{x(x-4a)(x+4a)} + \frac{4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}$

Сложим числители:

$\frac{x^2-12ax+4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x^2-8ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}$

Числитель $x^2-8ax+16a^2$ является полным квадратом разности: $(x-4a)^2$.

$\frac{(x-4a)^2}{x(x-4a)(x+4a)}$

Сократим на $(x-4a)$ (при $x \neq 4a$):

$\frac{x-4a}{x(x+4a)}$

Ответ: $\frac{x-4a}{x(x+4a)}$

г) $\frac{a-30y}{a^2-100y^2} - \frac{10y}{10ay-a^2}$

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $a^2-100y^2$ - это разность квадратов: $(a-10y)(a+10y)$. В знаменателе второй дроби $10ay-a^2$ вынесем за скобки общий множитель $a$: $a(10y-a)$.

Выражение $10y-a$ можно представить как $-(a-10y)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{10y}{10ay-a^2} = \frac{10y}{a(10y-a)} = \frac{10y}{-a(a-10y)} = -\frac{10y}{a(a-10y)}$

Тогда исходное выражение можно переписать так:

$\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} - (-\frac{10y}{a(a-10y)}) = \frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} + \frac{10y}{a(a-10y)}$

Общий знаменатель - $a(a-10y)(a+10y)$. Дополнительный множитель для первой дроби - $a$, для второй - $(a+10y)$.

$\frac{(a-30y)a}{a(a-10y)(a+10y)} + \frac{10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a^2-30ay}{a(a-10y)(a+10y)} + \frac{10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}$

Сложим числители:

$\frac{a^2-30ay+10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a^2-20ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}$

Числитель $a^2-20ay+100y^2$ является полным квадратом разности: $(a-10y)^2$.

$\frac{(a-10y)^2}{a(a-10y)(a+10y)}$

Сократим дробь на $(a-10y)$ (при $a \neq 10y$):

$\frac{a-10y}{a(a+10y)}$

Ответ: $\frac{a-10y}{a(a+10y)}$