Номер 93, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 93, страница 27.

93. Выполните вычитание дробей:

a) a² + 3aab - 5b + 8a - 40 - ab + 8;

б) y3x - 2 - 3y6xy + 9x - 4y - 6.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2+3a}{ab-5b+8a-40}-\frac{a}{b+8}= \\ =\frac{a^2+3a}{(ab-5b)+(8a-40)}-\frac{a}{b+8}= \\ =\frac{a^2+3a}{b(a-5)+8(a-5)}-\frac{a}{b+8}= \\ =\frac{a^2+3a}{(a-5)(b+8)}-\frac{a(a-5)}{(a-5)(b+8)}= \\ =\frac{a^2+3a-a^2+5a}{(a-5)(b+8)}=\frac{8a}{ab+8a-5b-40} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{6xy+9x-4y-6}= \\ =\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{(6xy+9x)-(4y+6)}= \\ =\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{3x(2y+3)-2(2y+3)}= \\ =\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{(2y+3)(3x-2)}=\frac{y(2y+3)-3y}{(2y+3)(3x-2)}= \\ =\frac{2y^2+3y-3y}{6xy-4y+9x-6}=\frac{2y^2}{6xy-4y+9x-6} \end{gathered}$$

а)

Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{a^2 + 3a}{ab - 5b + 8a - 40} - \frac{a}{b+8} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого сначала упростим знаменатель первой дроби.

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби $ ab - 5b + 8a - 40 $ методом группировки:

$ ab - 5b + 8a - 40 = (ab - 5b) + (8a - 40) = b(a - 5) + 8(a - 5) $

Вынесем общий множитель $ (a - 5) $ за скобки:

$ (a - 5)(b + 8) $

2. Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \frac{a^2 + 3a}{(a - 5)(b + 8)} - \frac{a}{b+8} $

3. Общий знаменатель для этих дробей — $ (a - 5)(b + 8) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $ (a - 5) $:

$ \frac{a(a - 5)}{(b + 8)(a - 5)} = \frac{a^2 - 5a}{(a - 5)(b + 8)} $

4. Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$ \frac{a^2 + 3a}{(a - 5)(b + 8)} - \frac{a^2 - 5a}{(a - 5)(b + 8)} = \frac{(a^2 + 3a) - (a^2 - 5a)}{(a - 5)(b + 8)} $

5. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2 + 3a - a^2 + 5a}{(a - 5)(b + 8)} = \frac{8a}{(a - 5)(b + 8)} $

Ответ: $ \frac{8a}{(a - 5)(b + 8)} $

б)

Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{y}{3x - 2} - \frac{3y}{6xy + 9x - 4y - 6} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого сначала упростим знаменатель второй дроби.

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби $ 6xy + 9x - 4y - 6 $ методом группировки:

$ 6xy + 9x - 4y - 6 = (6xy + 9x) - (4y + 6) = 3x(2y + 3) - 2(2y + 3) $

Вынесем общий множитель $ (2y + 3) $ за скобки:

$ (3x - 2)(2y + 3) $

2. Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \frac{y}{3x - 2} - \frac{3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

3. Общий знаменатель для этих дробей — $ (3x - 2)(2y + 3) $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $ (2y + 3) $:

$ \frac{y(2y + 3)}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{2y^2 + 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

4. Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$ \frac{2y^2 + 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} - \frac{3y}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{(2y^2 + 3y) - 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} $

5. Упростим числитель:

$ \frac{2y^2 + 3y - 3y}{(3x - 2)(2y + 3)} = \frac{2y^2}{(3x - 2)(2y + 3)} $

Ответ: $ \frac{2y^2}{(3x - 2)(2y + 3)} $