Номер 99, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 99, страница 28.

99. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 2a + b2a² - ab - 16a4a² - b² - 2a - b2a² + ab;

б) 1(a - 3)² - 2a² - 9 + 1(a + 3)²;

в) x - 2x² + 2x + 4 - 6xx³ - 8 + 1x - 2;

г) 2a² + 7a + 3a³ - 1 - 1 - 2aa² + a + 1 - 3a - 1.

a) $\frac{2a+b}{2a^2-ab}-\frac{16a}{4a^2-b^2}-\frac{2a-b}{2a^2+ab}=\frac{2a+b}{a(2a-b)}-$

$$\begin{gathered} -\frac{16a}{(2a-b)(2a+b)}-\frac{2a-b}{a(2a+b)}= \\ =\frac{{(2a+b)}^2-16a^2-{(2a-b)}^2}{a(2a-b)(2a+b)}= \\ =\frac{4a^2+4ab+b^2-16a^2-(4a^2-4ab+b^2)}{a(2a-b)(2a+b)}= \\ =\frac{4a^2+4ab+b^2-16a^2-4a^2+4ab-b^2}{a(2a-b)(2a+b)}= \\ =\frac{8ab-16a^2}{a(2a-b)(2a+b)}=\frac{8a(b-2a)}{a(2a-b)(2a+b)}= \\ =\frac{-8a(2a-b)}{a(2a-b)(2a+b)}=-\frac{8}{2a+b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{{(a-3)}^2}-\frac{2}{a^2-9}+\frac{1}{{(a+3)}^2}= \\ =\frac{1}{{(a-3)}^2}-\frac{2}{(a-3)(a+3)}+\frac{1}{{(a+3)}^2}= \\ =\frac{{(a+3)}^2-2(a-3)(a+3)+{(a-3)}^2}{{(a-3)}^2{(a+3)}^2}= \\ =\frac{\left(\right(a+3)-{(a-3))}^2}{{(a-3)}^2{(a+3)}^2}=\frac{{(a+3-a+3)}^2}{{(a-3)}^2{(a+3)}^2}= \\ =\frac{6^2}{{(a-3)}^2{(a+3)}^2}=\frac{36}{{(a-3)}^2{(a+3)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}+\frac{1}{x-2}= \\ =\frac{{(x-2)}^2-6x+(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}= \\ =\frac{x^2-4x+4-6x+x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}= \\ =\frac{2x^2-8x+8}{(x-2)(x^2+2x+4)}= \\ =\frac{2(x^2-4x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2{(x-2)}^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}= \\ =\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}=\frac{2x-4}{x^2+2x+4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac{3}{a-1}= \\ =\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}- \\ -\frac{3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}- \\ -\frac{a-1-2a^2+2a}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{3a^2+3a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}= \\ =\frac{2a^2+7a+3+2a^2+1-3a-3a^2-3a-3}{(a-1)(a^2+a+1)}= \\ =\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{1}{a-1} \end{gathered}$$

а) $\frac{2a + b}{2a^2 - ab} - \frac{16a}{4a^2 - b^2} - \frac{2a - b}{2a^2 + ab}$

Чтобы преобразовать выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

$2a^2 - ab = a(2a - b)$

$4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$ (по формуле разности квадратов)

$2a^2 + ab = a(2a + b)$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей будет $a(2a - b)(2a + b)$.

Приведем каждую дробь к НОЗ, домножив числитель и знаменатель на недостающие множители:

$\frac{(2a + b)(2a + b)}{a(2a - b)(2a + b)} - \frac{16a \cdot a}{a(2a - b)(2a + b)} - \frac{(2a - b)(2a - b)}{a(2a - b)(2a + b)}$

Теперь выполним операции с числителями, записав их над общим знаменателем:

$\frac{(2a + b)^2 - 16a^2 - (2a - b)^2}{a(2a - b)(2a + b)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$\frac{(4a^2 + 4ab + b^2) - 16a^2 - (4a^2 - 4ab + b^2)}{a(2a - b)(2a + b)}$

$\frac{4a^2 + 4ab + b^2 - 16a^2 - 4a^2 + 4ab - b^2}{a(2a - b)(2a + b)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4a^2 - 16a^2 - 4a^2) + (4ab + 4ab) + (b^2 - b^2)}{a(2a - b)(2a + b)} = \frac{-16a^2 + 8ab}{a(2a - b)(2a + b)}$

Вынесем в числителе общий множитель $-8a$ за скобки:

$\frac{-8a(2a - b)}{a(2a - b)(2a + b)}$

Сократим дробь на общие множители $a$ и $(2a - b)$:

$\frac{-8}{2a + b} = -\frac{8}{2a + b}$

Ответ: $-\frac{8}{2a + b}$.

б) $\frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{2}{a^2 - 9} + \frac{1}{(a + 3)^2}$

Разложим знаменатель средней дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.

Выражение примет вид:

$\frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{2}{(a - 3)(a + 3)} + \frac{1}{(a + 3)^2}$

Общим знаменателем является $(a - 3)^2(a + 3)^2$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{1 \cdot (a + 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2} - \frac{2 \cdot (a - 3)(a + 3)}{(a - 3)^2(a + 3)^2} + \frac{1 \cdot (a - 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2}$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{(a + 3)^2 - 2(a^2 - 9) + (a - 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(a^2 + 6a + 9) - (2a^2 - 18) + (a^2 - 6a + 9)}{(a - 3)^2(a + 3)^2}$

$\frac{a^2 + 6a + 9 - 2a^2 + 18 + a^2 - 6a + 9}{(a - 3)^2(a + 3)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^2 - 2a^2 + a^2) + (6a - 6a) + (9 + 18 + 9)}{(a - 3)^2(a + 3)^2} = \frac{36}{(a - 3)^2(a + 3)^2}$

Знаменатель можно свернуть по формуле разности квадратов: $(a - 3)^2(a + 3)^2 = ((a-3)(a+3))^2 = (a^2 - 9)^2$.

Ответ: $\frac{36}{(a^2 - 9)^2}$.

в) $\frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2}$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Общим знаменателем является $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, то есть $x^3 - 8$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1 \cdot (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$

Запишем выражение с общим знаменателем:

$\frac{(x - 2)^2 - 6x + (x^2 + 2x + 4)}{x^3 - 8}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{(x^2 - 4x + 4) - 6x + x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8}$

$\frac{x^2 - 4x + 4 - 6x + x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(x^2 + x^2) + (-4x - 6x + 2x) + (4 + 4)}{x^3 - 8} = \frac{2x^2 - 8x + 8}{x^3 - 8}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 и свернем выражение по формуле квадрата разности:

$\frac{2(x^2 - 4x + 4)}{x^3 - 8} = \frac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x - 2)$:

$\frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4}$

Ответ: $\frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4}$.

г) $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов: $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.

Общий знаменатель: $(a - 1)(a^2 + a + 1) = a^3 - 1$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a^2 + a + 1)(a - 1)} - \frac{3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{(2a^2 + 7a + 3) - (1 - 2a)(a - 1) - 3(a^2 + a + 1)}{a^3 - 1}$

Раскроем скобки в числителе:

$(1 - 2a)(a - 1) = a - 1 - 2a^2 + 2a = -2a^2 + 3a - 1$

$3(a^2 + a + 1) = 3a^2 + 3a + 3$

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$\frac{(2a^2 + 7a + 3) - (-2a^2 + 3a - 1) - (3a^2 + 3a + 3)}{a^3 - 1}$

$\frac{2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - 3a^2 - 3a - 3}{a^3 - 1}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(2a^2 + 2a^2 - 3a^2) + (7a - 3a - 3a) + (3 + 1 - 3)}{a^3 - 1} = \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}$

Заменим знаменатель на разложенное выражение:

$\frac{a^2 + a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a^2 + a + 1)$:

$\frac{1}{a - 1}$

Ответ: $\frac{1}{a - 1}$.