Страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

98. Представьте в виде дроби:

a) 4y + 2 - 3y - 2 + 12y² - 4;

б) aa - 6 - 3a + 6 + a²36 - a²;

в) x²(x - y)² - x + y2x - 2y;

г) b(a - b)² - a + bb² - ab.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{4}{y+2}-\frac{3}{y-2}+\frac{12}{y^2-4}= \\ =\frac{4(y-2)-3(y+2)+12}{(y-2)(y+2)}= \\ =\frac{4y-8-3y-6+12}{(y-2)(y+2)}=\frac{y-2}{(y-2)(y+2)}=\frac{1}{y+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a}{a-6}-\frac{3}{a+6}+\frac{a^2}{36-a^2}= \\ =\frac{a}{a-6}-\frac{3}{a+6}+\frac{a^2}{(6-a)(6+a)}= \\ =\frac{a(a+6)-3(a-6)-a^2}{(a-6)(a+6)}= \\ =\frac{a^2+6a-3a+18-a^2}{(a-6)(a+6)}= \\ =\frac{3a+18}{(a-6)(a+6)}=\frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)}=\frac{3}{a-6} \end{gathered}$$

в) $\frac{x^2}{{(x-y)}^2}-\frac{x+y}{2x-2y}=\frac{x^2}{{(x-y)}^2}-\frac{x+y}{2(x-y)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{2x^2-(x+y)(x-y)}{2{(x-y)}^2}=\frac{2x^2-(x^2-y^2)}{2{(x-y)}^2}= \\ =\frac{2x^2-x^2+y^2}{2{(x-y)}^2}=\frac{x^2+y^2}{2{(x-y)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{b}{{(a-b)}^2}-\frac{a+b}{b^2-ab}=\frac{b}{{(a-b)}^2}-\frac{a+b}{b(b-a)}= \\ =\frac{b}{{(a-b)}^2}+\frac{a+b}{b(a-b)}=\frac{b^2+(a+b)(a-b)}{b{(a-b)}^2}= \\ =\frac{b^2+a^2-b^2}{b{(a-b)}^2}=\frac{a^2}{b{(a-b)}^2} \end{gathered}$$

а)

Чтобы представить выражение $\frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4}$ в виде дроби, найдем общий знаменатель.

Знаменатель третьей дроби, $y^2-4$, является разностью квадратов: $y^2-4 = (y-2)(y+2)$. Следовательно, наименьший общий знаменатель для всех дробей — это $(y-2)(y+2)$.

Приведем каждую дробь к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(y-2)$, для второй — $(y+2)$. Третья дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4} = \frac{4(y-2)}{(y+2)(y-2)} - \frac{3(y+2)}{(y-2)(y+2)} + \frac{12}{(y-2)(y+2)}$

Теперь объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{4(y-2) - 3(y+2) + 12}{(y-2)(y+2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4y - 8 - 3y - 6 + 12}{(y-2)(y+2)} = \frac{(4y-3y) + (-8-6+12)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y-2}{(y-2)(y+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-2)$:

$\frac{1}{y+2}$

Ответ: $\frac{1}{y+2}$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2}$.

Найдем общий знаменатель. Знаменатель третьей дроби $36-a^2$ можно представить как $-(a^2-36)$, что является разностью квадратов: $-(a-6)(a+6)$.

Преобразуем последнюю дробь: $\frac{a^2}{36-a^2} = \frac{a^2}{-(a^2-36)} = -\frac{a^2}{(a-6)(a+6)}$.

Теперь выражение имеет вид: $\frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)}$. Общий знаменатель — $(a-6)(a+6)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a(a+6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{3(a-6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)}$

Объединим числители:

$\frac{a(a+6) - 3(a-6) - a^2}{(a-6)(a+6)}$

Упростим числитель:

$\frac{a^2 + 6a - 3a + 18 - a^2}{(a-6)(a+6)} = \frac{(a^2-a^2) + (6a-3a) + 18}{(a-6)(a+6)} = \frac{3a+18}{(a-6)(a+6)}$

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)} = \frac{3}{a-6}$

Ответ: $\frac{3}{a-6}$

в)

Рассмотрим выражение $\frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y}$.

Найдем общий знаменатель. Сначала преобразуем знаменатель второй дроби: $2x-2y = 2(x-y)$.

Знаменатели дробей: $(x-y)^2$ и $2(x-y)$. Наименьший общий знаменатель — $2(x-y)^2$.

Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $2$, для второй — $(x-y)$.

$\frac{2x^2}{2(x-y)^2} - \frac{(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2}$

Объединим числители. Выражение $(x+y)(x-y)$ является формулой разности квадратов: $x^2-y^2$.

$\frac{2x^2 - (x^2-y^2)}{2(x-y)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{2x^2 - x^2 + y^2}{2(x-y)^2} = \frac{x^2 + y^2}{2(x-y)^2}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}$

г)

Рассмотрим выражение $\frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2-ab}$.

Найдем общий знаменатель. Преобразуем знаменатель второй дроби: $b^2-ab = b(b-a)$.

Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Тогда $b(b-a) = -b(a-b)$. Перепишем вторую дробь:

$-\frac{a+b}{b^2-ab} = -\frac{a+b}{-b(a-b)} = \frac{a+b}{b(a-b)}$

Выражение принимает вид: $\frac{b}{(a-b)^2} + \frac{a+b}{b(a-b)}$.

Знаменатели дробей: $(a-b)^2$ и $b(a-b)$. Наименьший общий знаменатель — $b(a-b)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $(a-b)$.

$\frac{b \cdot b}{b(a-b)^2} + \frac{(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2} = \frac{b^2 + (a+b)(a-b)}{b(a-b)^2}$

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:

$\frac{b^2 + a^2 - b^2}{b(a-b)^2} = \frac{a^2}{b(a-b)^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b(a-b)^2}$

99. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 2a + b2a² - ab - 16a4a² - b² - 2a - b2a² + ab;

б) 1(a - 3)² - 2a² - 9 + 1(a + 3)²;

в) x - 2x² + 2x + 4 - 6xx³ - 8 + 1x - 2;

г) 2a² + 7a + 3a³ - 1 - 1 - 2aa² + a + 1 - 3a - 1.

a) $\frac{2a+b}{2a^2-ab}-\frac{16a}{4a^2-b^2}-\frac{2a-b}{2a^2+ab}=\frac{2a+b}{a(2a-b)}-$

$$\begin{gathered} -\frac{16a}{(2a-b)(2a+b)}-\frac{2a-b}{a(2a+b)}= \\ =\frac{{(2a+b)}^2-16a^2-{(2a-b)}^2}{a(2a-b)(2a+b)}= \\ =\frac{4a^2+4ab+b^2-16a^2-(4a^2-4ab+b^2)}{a(2a-b)(2a+b)}= \\ =\frac{4a^2+4ab+b^2-16a^2-4a^2+4ab-b^2}{a(2a-b)(2a+b)}= \\ =\frac{8ab-16a^2}{a(2a-b)(2a+b)}=\frac{8a(b-2a)}{a(2a-b)(2a+b)}= \\ =\frac{-8a(2a-b)}{a(2a-b)(2a+b)}=-\frac{8}{2a+b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{{(a-3)}^2}-\frac{2}{a^2-9}+\frac{1}{{(a+3)}^2}= \\ =\frac{1}{{(a-3)}^2}-\frac{2}{(a-3)(a+3)}+\frac{1}{{(a+3)}^2}= \\ =\frac{{(a+3)}^2-2(a-3)(a+3)+{(a-3)}^2}{{(a-3)}^2{(a+3)}^2}= \\ =\frac{\left(\right(a+3)-{(a-3))}^2}{{(a-3)}^2{(a+3)}^2}=\frac{{(a+3-a+3)}^2}{{(a-3)}^2{(a+3)}^2}= \\ =\frac{6^2}{{(a-3)}^2{(a+3)}^2}=\frac{36}{{(a-3)}^2{(a+3)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}+\frac{1}{x-2}= \\ =\frac{{(x-2)}^2-6x+(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}= \\ =\frac{x^2-4x+4-6x+x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}= \\ =\frac{2x^2-8x+8}{(x-2)(x^2+2x+4)}= \\ =\frac{2(x^2-4x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2{(x-2)}^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}= \\ =\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}=\frac{2x-4}{x^2+2x+4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac{3}{a-1}= \\ =\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}- \\ -\frac{3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}- \\ -\frac{a-1-2a^2+2a}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{3a^2+3a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}= \\ =\frac{2a^2+7a+3+2a^2+1-3a-3a^2-3a-3}{(a-1)(a^2+a+1)}= \\ =\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{1}{a-1} \end{gathered}$$

а) $\frac{2a + b}{2a^2 - ab} - \frac{16a}{4a^2 - b^2} - \frac{2a - b}{2a^2 + ab}$

Чтобы преобразовать выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

$2a^2 - ab = a(2a - b)$

$4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$ (по формуле разности квадратов)

$2a^2 + ab = a(2a + b)$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей будет $a(2a - b)(2a + b)$.

Приведем каждую дробь к НОЗ, домножив числитель и знаменатель на недостающие множители:

$\frac{(2a + b)(2a + b)}{a(2a - b)(2a + b)} - \frac{16a \cdot a}{a(2a - b)(2a + b)} - \frac{(2a - b)(2a - b)}{a(2a - b)(2a + b)}$

Теперь выполним операции с числителями, записав их над общим знаменателем:

$\frac{(2a + b)^2 - 16a^2 - (2a - b)^2}{a(2a - b)(2a + b)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$\frac{(4a^2 + 4ab + b^2) - 16a^2 - (4a^2 - 4ab + b^2)}{a(2a - b)(2a + b)}$

$\frac{4a^2 + 4ab + b^2 - 16a^2 - 4a^2 + 4ab - b^2}{a(2a - b)(2a + b)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4a^2 - 16a^2 - 4a^2) + (4ab + 4ab) + (b^2 - b^2)}{a(2a - b)(2a + b)} = \frac{-16a^2 + 8ab}{a(2a - b)(2a + b)}$

Вынесем в числителе общий множитель $-8a$ за скобки:

$\frac{-8a(2a - b)}{a(2a - b)(2a + b)}$

Сократим дробь на общие множители $a$ и $(2a - b)$:

$\frac{-8}{2a + b} = -\frac{8}{2a + b}$

Ответ: $-\frac{8}{2a + b}$.

б) $\frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{2}{a^2 - 9} + \frac{1}{(a + 3)^2}$

Разложим знаменатель средней дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.

Выражение примет вид:

$\frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{2}{(a - 3)(a + 3)} + \frac{1}{(a + 3)^2}$

Общим знаменателем является $(a - 3)^2(a + 3)^2$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{1 \cdot (a + 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2} - \frac{2 \cdot (a - 3)(a + 3)}{(a - 3)^2(a + 3)^2} + \frac{1 \cdot (a - 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2}$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{(a + 3)^2 - 2(a^2 - 9) + (a - 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(a^2 + 6a + 9) - (2a^2 - 18) + (a^2 - 6a + 9)}{(a - 3)^2(a + 3)^2}$

$\frac{a^2 + 6a + 9 - 2a^2 + 18 + a^2 - 6a + 9}{(a - 3)^2(a + 3)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^2 - 2a^2 + a^2) + (6a - 6a) + (9 + 18 + 9)}{(a - 3)^2(a + 3)^2} = \frac{36}{(a - 3)^2(a + 3)^2}$

Знаменатель можно свернуть по формуле разности квадратов: $(a - 3)^2(a + 3)^2 = ((a-3)(a+3))^2 = (a^2 - 9)^2$.

Ответ: $\frac{36}{(a^2 - 9)^2}$.

в) $\frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2}$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Общим знаменателем является $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, то есть $x^3 - 8$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1 \cdot (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$

Запишем выражение с общим знаменателем:

$\frac{(x - 2)^2 - 6x + (x^2 + 2x + 4)}{x^3 - 8}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{(x^2 - 4x + 4) - 6x + x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8}$

$\frac{x^2 - 4x + 4 - 6x + x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(x^2 + x^2) + (-4x - 6x + 2x) + (4 + 4)}{x^3 - 8} = \frac{2x^2 - 8x + 8}{x^3 - 8}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 и свернем выражение по формуле квадрата разности:

$\frac{2(x^2 - 4x + 4)}{x^3 - 8} = \frac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x - 2)$:

$\frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4}$

Ответ: $\frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4}$.

г) $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов: $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.

Общий знаменатель: $(a - 1)(a^2 + a + 1) = a^3 - 1$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a^2 + a + 1)(a - 1)} - \frac{3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{(2a^2 + 7a + 3) - (1 - 2a)(a - 1) - 3(a^2 + a + 1)}{a^3 - 1}$

Раскроем скобки в числителе:

$(1 - 2a)(a - 1) = a - 1 - 2a^2 + 2a = -2a^2 + 3a - 1$

$3(a^2 + a + 1) = 3a^2 + 3a + 3$

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$\frac{(2a^2 + 7a + 3) - (-2a^2 + 3a - 1) - (3a^2 + 3a + 3)}{a^3 - 1}$

$\frac{2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - 3a^2 - 3a - 3}{a^3 - 1}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(2a^2 + 2a^2 - 3a^2) + (7a - 3a - 3a) + (3 + 1 - 3)}{a^3 - 1} = \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}$

Заменим знаменатель на разложенное выражение:

$\frac{a^2 + a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a^2 + a + 1)$:

$\frac{1}{a - 1}$

Ответ: $\frac{1}{a - 1}$.

100. Выполните действие:

a) 1a - 4b - 1a + 4b - 2a16b² - a²;

б) 12b - 2a + 12b + 2a + a²a²b - b³.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{a-4b}-\frac{1}{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2}= \\ =\frac{(a+4b)-(a-4b)+2a}{(a-4b)(a+4b)}= \\ =\frac{a+4b-a+4b+2a}{(a-4b)(a+4b)}=\frac{2a+8b}{(a-4b)(a+4b)}= \\ =\frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)}=\frac{2}{a-4b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{2b-2a}+\frac{1}{2b+2a}+\frac{a^2}{a^{2}b-b^3}= \\ =\frac{1}{2(b-a)}+\frac{1}{2(b+a)}+\frac{a^2}{b(a^2-b^2)}= \\ =\frac{1}{2(b-a)}+\frac{1}{2(b+a)}+\frac{a^2}{b(a-b)(a+b)}= \\ =\frac{1}{2(b-a)}+\frac{1}{2(b+a)}-\frac{a^2}{b(b-a)(b+a)}= \\ =\frac{b(b+a)+b(b-a)-2a^2}{2b(b-a)(b+a)}= \\ =\frac{b^2+ab+b^2-ab-2a^2}{2b(b-a)(b+a)}= \\ =\frac{2b^2-2a^2}{2b(b^2-a^2)}=\frac{2(b^2-a^2)}{2b(b^2-a^2)}=\frac{1}{b} \end{gathered}$$

а) $\frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2}$
Для начала приведем все дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель третьей дроби на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$16b^2 - a^2 = (4b)^2 - a^2 = (4b - a)(4b + a)$.
Заметим, что $(4b - a) = -(a - 4b)$. Преобразуем третью дробь:
$\frac{2a}{16b^2 - a^2} = \frac{2a}{(4b - a)(4b + a)} = \frac{2a}{-(a - 4b)(a + 4b)} = -\frac{2a}{(a - 4b)(a + 4b)}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \left(-\frac{2a}{(a - 4b)(a + 4b)}\right) = \frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} + \frac{2a}{(a - 4b)(a + 4b)}$.
Общий знаменатель для всех дробей — это $(a - 4b)(a + 4b)$. Приведем первые две дроби к этому знаменателю:
$\frac{1 \cdot (a + 4b)}{(a - 4b)(a + 4b)} - \frac{1 \cdot (a - 4b)}{(a + 4b)(a - 4b)} + \frac{2a}{(a - 4b)(a + 4b)}$.
Теперь выполним действия в числителе:
$\frac{(a + 4b) - (a - 4b) + 2a}{(a - 4b)(a + 4b)} = \frac{a + 4b - a + 4b + 2a}{(a - 4b)(a + 4b)} = \frac{2a + 8b}{(a - 4b)(a + 4b)}$.
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:
$\frac{2(a + 4b)}{(a - 4b)(a + 4b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a + 4b)$:
$\frac{2}{a - 4b}$.
Ответ: $\frac{2}{a - 4b}$

б) $\frac{1}{2b - 2a} + \frac{1}{2b + 2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^3}$
Разложим знаменатели всех дробей на множители:
$2b - 2a = 2(b - a) = -2(a - b)$.
$2b + 2a = 2(b + a) = 2(a + b)$.
$a^2b - b^3 = b(a^2 - b^2) = b(a - b)(a + b)$.
Перепишем выражение с разложенными знаменателями, изменив знак у первой дроби:
$\frac{1}{-2(a - b)} + \frac{1}{2(a + b)} + \frac{a^2}{b(a - b)(a + b)} = -\frac{1}{2(a - b)} + \frac{1}{2(a + b)} + \frac{a^2}{b(a - b)(a + b)}$.
Общий знаменатель для этих дробей — это $2b(a - b)(a + b)$. Приведем каждую дробь к общему знаменателю:
$-\frac{1 \cdot b(a + b)}{2(a - b) \cdot b(a + b)} + \frac{1 \cdot b(a - b)}{2(a + b) \cdot b(a - b)} + \frac{a^2 \cdot 2}{b(a - b)(a + b) \cdot 2}$.
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{-b(a + b) + b(a - b) + 2a^2}{2b(a - b)(a + b)}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{-ab - b^2 + ab - b^2 + 2a^2}{2b(a - b)(a + b)} = \frac{2a^2 - 2b^2}{2b(a - b)(a + b)}$.
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и применим формулу разности квадратов:
$\frac{2(a^2 - b^2)}{2b(a - b)(a + b)} = \frac{2(a - b)(a + b)}{2b(a - b)(a + b)}$.
Сократим дробь на общие множители $2$, $(a-b)$ и $(a+b)$:
$\frac{1}{b}$.
Ответ: $\frac{1}{b}$

101. Докажите, что тождественно равны выражения:

a) 3a² - 3a + a²a - 3 и a + 3 + 9a + 3a² - 3a ;

б) a³a² - 4 - aa - 2 - 2a + 2 и a-1.

a) $\frac{3}{a^2-3a}+\frac{a^2}{a-3}=a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}$
$$\begin{gathered} \frac{3}{a(a-3)}+\frac{a^2}{a-3}=a+3+\frac{3(3a+1)}{a(a-3)} \\ \frac{3+a^3}{a(a-3)}=\frac{a(a+3)(a-3)+9a+3}{a(a-3)} \\ \frac{3+a^3}{a(a-3)}=\frac{a(a^2-9)+9a+3}{a(a-3)} \\ \frac{3+a^3}{a(a-3)}=\frac{a^3-9a+9a+3}{a(a-3)} \\ \frac{a^3+3}{a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a(a-3)} \end{gathered}$$

б) $\frac{a^3}{a^2-4}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}=a-1$
$$\begin{gathered} \frac{a^3}{(a-2)(a+2)}-\frac{a}{a-2}-\frac{2}{a+2}= \\ =\frac{a^3-a(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{a^3-a^2-2a-2a+4}{(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{a^3-a^2-4a+4}{(a-2)(a+2)}=\frac{(a^3-a^2)-(4a-4)}{(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{a^2(a-1)-4(a-1)}{(a-2)(a+2)}=\frac{(a-1)(a^2-4)}{(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{(a-1)(a-2)(a+2)}{(a-2)(a+2)}=a-1 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что выражения $\frac{3}{a^2-3a} + \frac{a^2}{a-3}$ и $a+3 + \frac{9a+3}{a^2-3a}$ тождественно равны, преобразуем каждое из них. Область допустимых значений для обоих выражений: $a^2-3a \neq 0$, то есть $a(a-3) \neq 0$, откуда $a \neq 0$ и $a \neq 3$.

1. Преобразуем первое выражение:
$\frac{3}{a^2-3a} + \frac{a^2}{a-3}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2-3a = a(a-3)$.
Общий знаменатель для дробей — это $a(a-3)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю:
$\frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2 \cdot a}{(a-3) \cdot a} = \frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^3}{a(a-3)}$
Сложим дроби:
$\frac{3+a^3}{a(a-3)}$

2. Преобразуем второе выражение:
$a+3 + \frac{9a+3}{a^2-3a}$
Приведем слагаемые $a+3$ к знаменателю $a^2-3a = a(a-3)$:
$\frac{(a+3)(a^2-3a)}{a^2-3a} + \frac{9a+3}{a^2-3a}$
Раскроем скобки в числителе первой дроби: $(a+3)(a^2-3a) = a^3 - 3a^2 + 3a^2 - 9a = a^3 - 9a$.
Теперь сложим дроби:
$\frac{a^3-9a + 9a+3}{a^2-3a} = \frac{a^3+3}{a^2-3a} = \frac{a^3+3}{a(a-3)}$

Поскольку оба выражения приводятся к одному и тому же виду $\frac{a^3+3}{a(a-3)}$, они тождественно равны на всей области допустимых значений.
Ответ: Выражения тождественно равны, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что выражения $\frac{a^3}{a^2-4} - \frac{a}{a-2} - \frac{2}{a+2}$ и $a-1$ тождественно равны, упростим первое выражение. Область допустимых значений: $a^2-4 \neq 0$, то есть $(a-2)(a+2) \neq 0$, откуда $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

1. Преобразуем первое выражение:
$\frac{a^3}{a^2-4} - \frac{a}{a-2} - \frac{2}{a+2}$
Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$. Это будет общий знаменатель.
Приведем все дроби к общему знаменателю:
$\frac{a^3}{(a-2)(a+2)} - \frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$
Выполним вычитание дробей, записав все под общим знаменателем:
$\frac{a^3 - a(a+2) - 2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{a^3 - a^2 - 2a - 2a + 4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^3 - a^2 - 4a + 4}{a^2-4}$
Разложим числитель на множители методом группировки:
$a^3 - a^2 - 4a + 4 = a^2(a-1) - 4(a-1) = (a^2-4)(a-1)$
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(a^2-4)(a-1)}{a^2-4}$
Сократим дробь на $(a^2-4)$:
$a-1$

Первое выражение после упрощения стало равно $a-1$, что совпадает со вторым выражением. Следовательно, выражения тождественно равны.
Ответ: Выражения тождественно равны, что и требовалось доказать.

102. (Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:

a) x³ + 3xx + 2 - 3x² - 14x + 16x² - 4+ 2x является положительным числом;

б) y +2y² + 3y + 1y² - 1 - y³ + 2yy - 1 является отрицательным числом.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.

3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).

a)$\frac{x^3+3x}{x+2}-\frac{3x^2-14x+16}{x^2-4}+2x=\frac{x^3+3x}{x+2}-$
$$\begin{gathered} -\frac{3x^2-14x+16}{(x-2)(x+2)}+2x= \\ =\frac{(x^3+3x)(x-2)-(3x^2-14x+16)+2x(x^2-4)}{(x-2)(x+2)}= \\ =\frac{x^4-{\bcancel{2x}}^3+{\bcancel{3x}}^2-\bcancel{6x}-{\bcancel{3x}}^2+\bcancel{14x}-16+{\bcancel{2x}}^3-\bcancel{8x}}{(x-2)(x+2)}= \\ =\frac{x^4-16}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2-4}=x^2+4>0 \end{gathered}$$

б) $y+\frac{2y^2+3y+1}{y^2-1}-\frac{y^3+2y}{y-1}=$
$$\begin{gathered} =y+\frac{2y^2+3y+1}{(y-1)(y+1)}-\frac{y^3+2y}{y-1}= \\ =\frac{y(y^2-1)+2y^2+3y+1-(y^3+2y)(y+1)}{(y-1)(y+1)}= \\ =\frac{y^3-y+2y^2+3y+1-(y^4+y^3+2y^2+2y)}{(y-1)(y+1)}= \\ =\frac{{\bcancel{y}}^3+{\bcancel{2y}}^2+\bcancel{2y}+1-y^4-{\bcancel{y}}^3-{\bcancel{2y}}^2-\bcancel{2y}}{(y-1)(y+1)}= \\ =\frac{1-y^4}{y^2-1}=\frac{(1-y^2)(1+y^2)}{y^2-1}= \\ =\frac{-(y^2-1)(y^2+1)}{y^2-1}=-(y^2+1)<0 \end{gathered}$$

а) Докажем, что выражение $\frac{x^3 + 3x}{x + 2} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + 2x$ является положительным числом при любых допустимых значениях переменной $x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения $x$, при которых знаменатели дробей не равны нулю.

$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$

$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, ОДЗ: $x$ — любое действительное число, кроме $2$ и $-2$.

Теперь упростим данное выражение. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$:

$\frac{x^3 + 3x}{x + 2} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + 2x = \frac{(x^3 + 3x)(x - 2)}{ (x + 2)(x - 2)} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + \frac{2x(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$

$= \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 6x - (3x^2 - 14x + 16) + 2x^3 - 8x}{x^2 - 4}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 6x - 3x^2 + 14x - 16 + 2x^3 - 8x}{x^2 - 4} = \frac{x^4 + (-2x^3 + 2x^3) + (3x^2 - 3x^2) + (-6x + 14x - 8x) - 16}{x^2 - 4}$

$= \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$\frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 - 4} = x^2 + 4$

Сокращение возможно, так как мы рассматриваем допустимые значения $x$, при которых $x^2 - 4 \neq 0$.

Получили выражение $x^2 + 4$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то $x^2 + 4 \ge 0+4$, то есть $x^2 + 4 \ge 4$. Следовательно, выражение $x^2 + 4$ всегда принимает положительные значения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное выражение после упрощения равно $x^2+4$, что всегда больше нуля, так как $x^2 \ge 0$.

б) Докажем, что выражение $y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1}$ является отрицательным числом при любых допустимых значениях переменной $y$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$y^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (y-1)(y+1) \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$ и $y \neq -1$.

$y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$.

Таким образом, ОДЗ: $y$ — любое действительное число, кроме $1$ и $-1$.

Приведем выражение к общему знаменателю $y^2 - 1 = (y-1)(y+1)$:

$y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1} = \frac{y(y^2-1)}{y^2-1} + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{(y^3 + 2y)(y+1)}{(y-1)(y+1)}$

$= \frac{y^3 - y + 2y^2 + 3y + 1 - (y^4 + y^3 + 2y^2 + 2y)}{y^2 - 1}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{y^3 + 2y^2 + 2y + 1 - y^4 - y^3 - 2y^2 - 2y}{y^2 - 1} = \frac{-y^4 + (y^3 - y^3) + (2y^2 - 2y^2) + (2y - 2y) + 1}{y^2 - 1}$

$= \frac{-y^4 + 1}{y^2 - 1} = \frac{-(y^4 - 1)}{y^2 - 1}$

Разложим выражение $y^4 - 1$ в числителе на множители:

$y^4 - 1 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$

Подставим и сократим дробь:

$\frac{-(y^2 - 1)(y^2 + 1)}{y^2 - 1} = -(y^2 + 1)$

Сокращение возможно, так как для допустимых значений $y$ выполнено условие $y^2 - 1 \neq 0$.

Получили выражение $-(y^2 + 1)$. Так как $y^2 \ge 0$ для любого действительного $y$, то $y^2 + 1 \ge 1$, то есть $y^2+1$ всегда является положительным числом. Соответственно, выражение $-(y^2 + 1)$ всегда будет отрицательным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное выражение после упрощения равно $-(y^2+1)$, что всегда меньше нуля, так как $y^2+1 > 0$.

1) Задания а) и б) представляют собой задачи на доказательство с помощью тождественных преобразований алгебраических дробей. Выполнение этих заданий (доказательства) представлено выше.

2) Проверка правильности преобразований может быть выполнена пошагово, как это показано в решениях выше. Ключевые шаги: нахождение общего знаменателя, приведение дробей к нему, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, разложение числителя на множители и сокращение дроби. Все эти шаги выполнены корректно, что подтверждается итоговым простым выражением, знак которого легко определить.

3) В условии указано, что рассматриваются "допустимые значения переменных", потому что исходные выражения содержат переменные в знаменателях дробей. Деление на ноль является неопределенной математической операцией, поэтому необходимо исключить все значения переменных, которые обращают хотя бы один из знаменателей в ноль. Эти значения не входят в область определения выражений. Именно условие работы в области допустимых значений позволяет нам выполнять сокращение дробей (например, сокращение на $x^2-4$ в пункте а) и на $y^2-1$ в пункте б)), так как мы уверены, что не делим на ноль.

Допустимые значения переменных:

Для задания а) знаменатели $x+2$ и $x^2-4$ равны нулю при $x=-2$ и $x=\pm2$ соответственно. Следовательно, допустимые значения для $x$ — это все действительные числа, кроме $x=2$ и $x=-2$.

Для задания б) знаменатели $y^2-1$ и $y-1$ равны нулю при $y=\pm1$ и $y=1$ соответственно. Следовательно, допустимые значения для $y$ — это все действительные числа, кроме $y=1$ и $y=-1$.