Страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

64. Выполните действие:

a) 10pp - q + 3pq - p;

б) 5aa - b + 5bb - a;

в) x - 3x - 1 - 21 - x;

г) a2a - b + 3a - bb - 2a;

д) aa² - 9 + 39 - a²;

е) y²y - 1 + 11 - y.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{10p}{p-q}+\frac{3p}{q-p}=\frac{10p}{p-q}-\frac{3p}{p-q}= \\ =\frac{10p-3p}{p-q}=\frac{7p}{p-q} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{5a}{a-b}+\frac{5b}{b-a}=\frac{5a}{a-b}-\frac{5b}{a-b}= \\ =\frac{5a-5b}{a-b}=\frac{5(a-b)}{a-b}=5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x-3}{x-1}-\frac{2}{1-x}=\frac{x-3}{x-1}+\frac{2}{x-1}= \\ =\frac{x-3+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a}{2a-b}+\frac{3a-b}{b-2a}=\frac{a}{2a-b}-\frac{3a-b}{2a-b}= \\ =\frac{a-(3a-b)}{2a-b}=\frac{a-3a+b}{2a-b}=\frac{-2a+b}{2a-b}= \\ =\frac{-(2a-b)}{2a-b}=-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{a}{a^2-9}+\frac{3}{9-a^2}=\frac{a}{a^2-9}-\frac{3}{a^2-9}= \\ =\frac{a-3}{a^2-9}=\frac{a-3}{(a-3)(a+3)}=\frac{1}{a+3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{y^2}{y-1}+\frac{1}{1-y}=\frac{y^2}{y-1}-\frac{1}{y-1}=\frac{y^2-1}{y-1}= \\ =\frac{(y-1)(y+1)}{y-1}=y+1 \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{10p}{p-q}$ и $\frac{3p}{q-p}$, нужно привести их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели являются противоположными выражениями: $q-p = -(p-q)$. Используем это свойство для преобразования второй дроби:
$\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{q-p} = \frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{-(p-q)} = \frac{10p}{p-q} - \frac{3p}{p-q}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно вычесть числители:
$\frac{10p - 3p}{p-q} = \frac{7p}{p-q}$
Ответ: $\frac{7p}{p-q}$.

б) В выражении $\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a}$ знаменатели также являются противоположными: $b-a = -(a-b)$. Приведем дроби к общему знаменателю $a-b$:
$\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{-(a-b)} = \frac{5a}{a-b} - \frac{5b}{a-b}$
Выполним вычитание дробей:
$\frac{5a-5b}{a-b}$
Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:
$\frac{5(a-b)}{a-b}$
Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$:
$5$
Ответ: $5$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{x-3}{x-1} - \frac{2}{1-x}$. Знаменатель второй дроби $1-x$ можно записать как $-(x-1)$.
$\frac{x-3}{x-1} - \frac{2}{-(x-1)} = \frac{x-3}{x-1} + \frac{2}{x-1}$
Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(x-3)+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1}$
Сократив дробь, получаем:
$1$
Ответ: $1$.

г) В выражении $\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a}$ знаменатели $2a-b$ и $b-2a$ являются противоположными. Преобразуем вторую дробь:
$\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{-(2a-b)} = \frac{a}{2a-b} - \frac{3a-b}{2a-b}$
Выполним вычитание, объединяя числители под общим знаменателем:
$\frac{a-(3a-b)}{2a-b} = \frac{a-3a+b}{2a-b} = \frac{-2a+b}{2a-b}$
Вынесем -1 за скобки в числителе:
$\frac{-(2a-b)}{2a-b}$
Сократим дробь:
$-1$
Ответ: $-1$.

д) В выражении $\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{9-a^2}$ знаменатели $a^2-9$ и $9-a^2$ также противоположны: $9-a^2 = -(a^2-9)$.
$\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{-(a^2-9)} = \frac{a}{a^2-9} - \frac{3}{a^2-9}$
Выполним вычитание:
$\frac{a-3}{a^2-9}$
Знаменатель $a^2-9$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.
$\frac{a-3}{(a-3)(a+3)}$
Сократим дробь на $(a-3)$:
$\frac{1}{a+3}$
Ответ: $\frac{1}{a+3}$.

е) Рассмотрим выражение $\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}$. Знаменатель второй дроби $1-y$ равен $-(y-1)$.
$\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{-(y-1)} = \frac{y^2}{y-1} - \frac{1}{y-1}$
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{y^2-1}{y-1}$
Числитель $y^2-1$ — это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $y^2-1 = (y-1)(y+1)$.
$\frac{(y-1)(y+1)}{y-1}$
Сократим дробь на $(y-1)$:
$y+1$
Ответ: $y+1$.

65. Докажите, что при всех допустимых значениях x значение выражения не зависит от x:

a) 3x + 52x - 1 + 7x + 31 - 2x

б) 5x + 15x - 20 + x + 1720 - 5x

a) $\frac{3x+5}{2x-1}+\frac{7x+3}{1-2x}=\frac{3x+5}{2x-1}-\frac{7x+3}{2x-1}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(3x+5)-(7x+3)}{2x-1}=\frac{3x+5-7x-3}{2x-1}= \\ =\frac{2-4x}{2x-1}=\frac{2(1-2x)}{-(1-2x)}=-2 \end{gathered}$$

б) $\frac{5x+1}{5x-20}+\frac{x+17}{20-5x}=\frac{5x+1}{5x-20}-\frac{x+17}{5x-20}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(5x+1)-(x+17)}{5x-20}=\frac{5x+1-x-17}{5(x-4)}= \\ =\frac{4x-16}{5(x-4)}=\frac{4(x-4)}{5(x-4)}=\frac{4}{5}=0,8 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{3x + 5}{2x - 1} + \frac{7x + 3}{1 - 2x}$ не зависит от $x$, необходимо его упростить.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $2x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq \frac{1}{2}$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $2x-1$ и $1-2x$ являются противоположными выражениями: $1 - 2x = -(2x - 1)$. Используем это свойство для преобразования второй дроби:

$\frac{7x + 3}{1 - 2x} = \frac{7x + 3}{-(2x - 1)} = -\frac{7x + 3}{2x - 1}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{3x + 5}{2x - 1} - \frac{7x + 3}{2x - 1}$

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$\frac{(3x + 5) - (7x + 3)}{2x - 1} = \frac{3x + 5 - 7x - 3}{2x - 1} = \frac{-4x + 2}{2x - 1}$

В числителе вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$\frac{-2(2x - 1)}{2x - 1}$

Так как согласно ОДЗ $x \neq \frac{1}{2}$, то выражение $2x - 1$ не равно нулю, и мы можем сократить дробь на $(2x - 1)$:

$\frac{-2\cancel{(2x - 1)}}{\cancel{(2x - 1)}} = -2$

Полученное значение равно $-2$. Это константа, которая не зависит от переменной $x$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: -2.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{5x + 1}{5x - 20} + \frac{x + 17}{20 - 5x}$ не зависит от $x$, необходимо его упростить.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $5x - 20 \neq 0$, что означает $5x \neq 20$, или $x \neq 4$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $5x - 20$ и $20 - 5x$ являются противоположными выражениями: $20 - 5x = -(5x - 20)$. Используем это свойство:

$\frac{5x + 1}{5x - 20} + \frac{x + 17}{20 - 5x} = \frac{5x + 1}{5x - 20} + \frac{x + 17}{-(5x - 20)} = \frac{5x + 1}{5x - 20} - \frac{x + 17}{5x - 20}$

Теперь дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы можем вычесть их числители:

$\frac{(5x + 1) - (x + 17)}{5x - 20} = \frac{5x + 1 - x - 17}{5x - 20} = \frac{4x - 16}{5x - 20}$

Вынесем в числителе и знаменателе общие множители за скобки:

$\frac{4(x - 4)}{5(x - 4)}$

Так как согласно ОДЗ $x \neq 4$, то выражение $x - 4$ не равно нулю, и мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:

$\frac{4\cancel{(x - 4)}}{5\cancel{(x - 4)}} = \frac{4}{5}$

Полученное значение равно $\frac{4}{5}$. Это константа, которая не зависит от переменной $x$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

66. Выполните действие:

a) x²(x - 5)² - 25(5 - x)²

б) x² + 25(x - 5)³ + 10x(5 - x)³

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2}{{(x-5)}^2}-\frac{25}{{(5-x)}^2}=\frac{x^2-25}{{(x-5)}^2}= \\ =\frac{(x-5)(n+5)}{{(x-5)}^2}=\frac{x+5}{x-5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{x^2+25}{{(x-5)}^3}+\frac{10x}{{(5-x)}^3}=\frac{x^2+25}{{(x-5)}^3}-\frac{10x}{{(x-5)}^3}= \\ =\frac{x^2+25-10x}{{(x-5)}^3}=\frac{{(x-5)}^2}{{(x-5)}^3}=\frac{1}{x-5} \end{gathered}$$

а) $ \frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2} $

Для выполнения вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Обратим внимание на знаменатели $ (x-5)^2 $ и $ (5-x)^2 $.

Используем свойство квадрата разности: $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $. Для наших знаменателей это означает, что $ (5-x)^2 = (x-5)^2 $.

Таким образом, знаменатели дробей равны. Заменим $ (5-x)^2 $ на $ (x-5)^2 $ в исходном выражении и выполним вычитание:

$ \frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(x-5)^2} = \frac{x^2 - 25}{(x-5)^2} $

Числитель полученной дроби $ x^2 - 25 $ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ x^2 - 25 = (x-5)(x+5) $

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} $

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $ (x-5) $, при условии, что $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $:

$ \frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} = \frac{x+5}{x-5} $

Ответ: $ \frac{x+5}{x-5} $

б) $ \frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3} $

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Рассмотрим знаменатели $ (x-5)^3 $ и $ (5-x)^3 $.

Используем свойство нечетной степени: $ (b-a)^3 = (-(a-b))^3 = (-1)^3(a-b)^3 = -(a-b)^3 $. Таким образом, $ (5-x)^3 = -(x-5)^3 $.

Заменим $ (5-x)^3 $ на $ -(x-5)^3 $ во второй дроби. Это изменит знак перед дробью на противоположный:

$ \frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{-(x-5)^3} = \frac{x^2+25}{(x-5)^3} - \frac{10x}{(x-5)^3} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можем выполнить вычитание числителей:

$ \frac{x^2+25-10x}{(x-5)^3} = \frac{x^2-10x+25}{(x-5)^3} $

Числитель $ x^2-10x+25 $ является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $:

$ x^2-10x+25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2 $

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

$ \frac{(x-5)^2}{(x-5)^3} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x-5)^2 $, при условии, что $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $:

$ \frac{(x-5)^2}{(x-5)^3} = \frac{1}{x-5} $

Ответ: $ \frac{1}{x-5} $

67. Преобразуйте в дробь выражение:

a) x²x² - 16 8(x - 2)x² - 16

б) 64 - 2ab(a - 8)² 2ab - a²(8 - a)²

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2}{x^2-16}-\frac{8(x-2)}{x^2-16}=\frac{x^2-8(x-2)}{x^2-16}= \\ =\frac{x^2-8x+16}{(x-4)(x+4)}=\frac{{(x-4)}^2}{(x-4)(x+4)}=\frac{x-4}{x+4} \end{gathered}$$

б) $\frac{64-2ab}{{(a-8)}^2}+\frac{2ab-a^2}{{(8-a)}^2}=\frac{64-2ab}{{(a-8)}^2}+\frac{2ab-a^2}{{(a-8)}^2}=$
$$\begin{gathered} =\frac{64-2ab+2ab-a^2}{{(a-8)}^2}=\frac{64-a^2}{{(a-8)}^2}= \\ =\frac{(8-a)(8+a)}{{(a-8)}^2}=\frac{(8-a)(8+a)}{{(8-a)}^2}=\frac{8+a}{8-a} \end{gathered}$$

а) $\frac{x^2}{x^2 - 16} - \frac{8(x - 2)}{x^2 - 16}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем объединить их, выполнив вычитание числителей:

$\frac{x^2 - 8(x - 2)}{x^2 - 16}$

Раскроем скобки в числителе, умножив $-8$ на каждое слагаемое в скобках:

$\frac{x^2 - 8x + 16}{x^2 - 16}$

Теперь необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Числитель является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а знаменатель — разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Числитель: $x^2 - 8x + 16 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x-4)^2$.

Знаменатель: $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-4)$:

$\frac{x-4}{x+4}$

Ответ: $\frac{x-4}{x+4}$

б) $\frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} + \frac{2ab - a^2}{(8 - a)^2}$

Для сложения дробей нужно привести их к общему знаменателю. Обратим внимание, что $(8 - a)^2 = (-(a - 8))^2 = (-1)^2 \cdot (a - 8)^2 = (a - 8)^2$. Это означает, что знаменатели у дробей уже одинаковы.

Перепишем выражение с одинаковыми знаменателями:

$\frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} + \frac{2ab - a^2}{(a - 8)^2}$

Теперь сложим числители:

$\frac{64 - 2ab + 2ab - a^2}{(a - 8)^2}$

Упростим числитель, взаимно уничтожив слагаемые $-2ab$ и $2ab$:

$\frac{64 - a^2}{(a - 8)^2}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$64 - a^2 = 8^2 - a^2 = (8 - a)(8 + a)$.

Подставим разложенный числитель в дробь:

$\frac{(8 - a)(8 + a)}{(a - 8)^2}$

Заметим, что $8 - a = -(a - 8)$. Перепишем выражение:

$\frac{-(a - 8)(a + 8)}{(a - 8)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - 8)$:

$\frac{-(a + 8)}{a - 8}$

Чтобы избавиться от знака "минус" перед числителем, можно внести его в знаменатель, поменяв знаки у слагаемых:

$\frac{a + 8}{-(a - 8)} = \frac{a + 8}{8 - a}$

Ответ: $\frac{a + 8}{8 - a}$

68. Пользуясь тождеством a + bc = ac + bc представьте дробь в виде суммы дробей:

a) a + bx;

б) 2a² + ay;

в) x² + 6y²2xy;

г) 12a + y²6ay.

a) $\frac{a+b}{x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x}$

б) $\frac{2a^2+a}{y}=\frac{2a^2}{y}+\frac{a}{y}$

в) $\frac{x^2+6y^2}{2xy}=\frac{x^2}{2xy}+\frac{6y^2}{2xy}=\frac{x}{2y}+\frac{6y}{2x}=\frac{x}{2y}+\frac{3y}{x}$

г) $\frac{12a+y^2}{6ay}=\frac{12a}{6ay}+\frac{y^2}{6ay}=\frac{2}{y}+\frac{y}{6a}$

а) Чтобы представить дробь $\frac{a+b}{x}$ в виде суммы, воспользуемся тождеством $\frac{A+B}{C} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}$. В данном случае слагаемые в числителе — это $a$ и $b$, а знаменатель — $x$. Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель:

$\frac{a+b}{x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x}$

Ответ: $\frac{a}{x} + \frac{b}{x}$

б) Аналогично, для дроби $\frac{2a^2+a}{y}$ слагаемые в числителе — это $2a^2$ и $a$, а знаменатель — $y$. Применим тождество:

$\frac{2a^2+a}{y} = \frac{2a^2}{y} + \frac{a}{y}$

Ответ: $\frac{2a^2}{y} + \frac{a}{y}$

в) Для дроби $\frac{x^2+6y^2}{2xy}$ разделим каждое слагаемое числителя ($x^2$ и $6y^2$) на общий знаменатель $2xy$:

$\frac{x^2+6y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} + \frac{6y^2}{2xy}$

Теперь упростим (сократим) каждую из полученных дробей:

Первая дробь: $\frac{x^2}{2xy} = \frac{x \cdot x}{2 \cdot x \cdot y} = \frac{x}{2y}$

Вторая дробь: $\frac{6y^2}{2xy} = \frac{2 \cdot 3 \cdot y \cdot y}{2 \cdot x \cdot y} = \frac{3y}{x}$

Сложив упрощенные дроби, получаем конечный результат.

Ответ: $\frac{x}{2y} + \frac{3y}{x}$

г) Для дроби $\frac{12a+y^2}{6ay}$ разделим каждое слагаемое числителя ($12a$ и $y^2$) на знаменатель $6ay$:

$\frac{12a+y^2}{6ay} = \frac{12a}{6ay} + \frac{y^2}{6ay}$

Упростим каждую дробь путем сокращения общих множителей:

Первая дробь: $\frac{12a}{6ay} = \frac{6a \cdot 2}{6a \cdot y} = \frac{2}{y}$

Вторая дробь: $\frac{y^2}{6ay} = \frac{y \cdot y}{6a \cdot y} = \frac{y}{6a}$

Следовательно, искомая сумма имеет вид:

Ответ: $\frac{2}{y} + \frac{y}{6a}$

69. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:

a) x² + y²x⁴;

б) 2x - yb;

в) a² + 12a;

г) a² - 3aba³.

a) $\frac{x^2+y^2}{x^4}=\frac{x^2}{x^4}+\frac{y^2}{x^4}=\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{x^4}$

б) $\frac{2x-y}{b}=\frac{2x}{b}-\frac{y}{b}$

в) $\frac{a^2+1}{2a}=\frac{a^2}{2a}+\frac{1}{2a}=\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}$

г) $\frac{a^2-3ab}{a^3}=\frac{a^2}{a^3}-\frac{3ab}{a^3}=\frac{1}{a}-\frac{3b}{a^2}$

а) Чтобы представить дробь в виде суммы или разности дробей, необходимо каждый член числителя разделить на знаменатель. Для дроби $ \frac{x^2+y^2}{x^4} $ это будет выглядеть так:

$ \frac{x^2+y^2}{x^4} = \frac{x^2}{x^4} + \frac{y^2}{x^4} $

Теперь упростим первое слагаемое, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^2}{x^4} = x^{2-4} = x^{-2} = \frac{1}{x^2} $

Второе слагаемое $ \frac{y^2}{x^4} $ упростить нельзя. Таким образом, получаем сумму двух дробей.

Ответ: $ \frac{1}{x^2} + \frac{y^2}{x^4} $

б) Представим дробь $ \frac{2x-y}{b} $ в виде разности дробей, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{2x-y}{b} = \frac{2x}{b} - \frac{y}{b} $

Полученные дроби не имеют общих множителей в числителе и знаменателе, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $ \frac{2x}{b} - \frac{y}{b} $

в) Для дроби $ \frac{a^2+1}{2a} $ применим тот же метод почленного деления числителя на знаменатель:

$ \frac{a^2+1}{2a} = \frac{a^2}{2a} + \frac{1}{2a} $

Упростим первое слагаемое, сократив его на $a$:

$ \frac{a^2}{2a} = \frac{a \cdot a}{2 \cdot a} = \frac{a}{2} $

Второе слагаемое $ \frac{1}{2a} $ не упрощается. В результате получаем сумму.

Ответ: $ \frac{a}{2} + \frac{1}{2a} $

г) Представим дробь $ \frac{a^2-3ab}{a^3} $ в виде разности, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{a^2-3ab}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} - \frac{3ab}{a^3} $

Упростим каждую из полученных дробей:

Первая дробь: $ \frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a} $.

Вторая дробь: $ \frac{3ab}{a^3} = \frac{3 \cdot a \cdot b}{a \cdot a^2} = \frac{3b}{a^2} $.

Таким образом, итоговое выражение представляет собой разность.

Ответ: $ \frac{1}{a} - \frac{3b}{a^2} $

70. Представьте дробь 5n² + 3n + 6n; в виде суммы двучлена и дроби.

Выясните, при каких натуральных n данная дробь принимает натуральные значения.

$\frac{5n^2+3n+6}{n}=\frac{5n^2}{n}+\frac{3n}{n}+\frac{6}{n}=5n+3+\frac{6}{n}$

при

Ответ: при n=1; 2; 3; 6

Представьте дробь $\frac{5n^2+3n+6}{n}$ в виде суммы двучлена и дроби.

Чтобы представить данную дробь в виде суммы, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Это можно сделать почленно, разделив каждый член числителя на $n$:

$\frac{5n^2+3n+6}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{3n}{n} + \frac{6}{n}$

Теперь упростим каждое слагаемое, сократив дроби:

$5n + 3 + \frac{6}{n}$

Полученное выражение является суммой двучлена $(5n+3)$ и дроби $\frac{6}{n}$.

Ответ: $5n+3+\frac{6}{n}$.

Выясните, при каких натуральных $n$ данная дробь принимает натуральные значения.

Мы представили исходную дробь в виде выражения $5n+3+\frac{6}{n}$. По условию задачи, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Рассмотрим выражение $5n+3+\frac{6}{n}$. Слагаемое $(5n+3)$ при любом натуральном $n$ будет натуральным числом, так как произведение и сумма натуральных чисел всегда дают натуральное число.

Чтобы вся сумма была натуральным числом, необходимо, чтобы и последнее слагаемое, $\frac{6}{n}$, было целым числом. Поскольку $n$ — число натуральное (а значит, положительное), то и дробь $\frac{6}{n}$ должна быть натуральным числом.

Дробь $\frac{6}{n}$ будет принимать натуральные значения только в том случае, если ее знаменатель $n$ является натуральным делителем ее числителя 6.

Натуральными делителями числа 6 являются числа: 1, 2, 3 и 6.

Следовательно, исходная дробь принимает натуральные значения только при $n$, равном одному из этих чисел.

Ответ: при $n \in \{1, 2, 3, 6\}$.

71. При каких целых значениях m дробь (m - 1)(m + 1) - 10m принимает целые значения?

$$\begin{gathered} \frac{(m-1)(m+1)-10}{m}=\frac{m^2-1-10}{m}= \\ =\frac{m^2-11}{m}=\frac{m^2}{m}-\frac{11}{m}=m-\frac{11}{m} \end{gathered}$$

при m=-1; $\frac{{(-1)}^2-11}{-1}=\frac{1-11}{-1}=\frac{-10}{-1}=10$

m=1; $\frac{1^2-11}{1}=\frac{1-11}{1}=-10$

m=11; $\frac{{11}^2-11}{11}=\frac{121-11}{11}=\frac{110}{11}=10$

m=-11; $\frac{{(-11)}^2-11}{-11}=\frac{121-11}{-11}=\frac{110}{-11}=-10$

Ответ: при m=-1; 1; -11; 11

Для того чтобы данная дробь принимала целые значения, необходимо найти все целые значения m, при которых выражение будет целым числом.

Исходная дробь:
$ \frac{(m-1)(m+1)-10}{m} $

Сначала упростим числитель дроби. Выражение $ (m-1)(m+1) $ является формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Применим ее:
$ (m-1)(m+1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1 $

Теперь подставим полученный результат обратно в числитель дроби:
$ \frac{(m^2 - 1) - 10}{m} = \frac{m^2 - 11}{m} $

Чтобы проанализировать, при каких целых m это выражение является целым, разделим его почленно на m:
$ \frac{m^2}{m} - \frac{11}{m} = m - \frac{11}{m} $

По условию задачи, m — целое число. Значит, первое слагаемое m всегда целое. Чтобы вся разность $ m - \frac{11}{m} $ была целым числом, необходимо, чтобы и второе слагаемое, $ \frac{11}{m} $, также было целым числом.

Дробь $ \frac{11}{m} $ принимает целые значения только тогда, когда ее знаменатель m является делителем числителя 11.

Найдем все целые делители числа 11. Поскольку 11 — простое число, его делителями являются:
1, -1, 11, -11.

Следовательно, m может принимать одно из этих четырех значений.

Ответ: -11, -1, 1, 11.

72. Решите уравнение:

а) 3(5x – 4) – 8x = 4x + 9;

б) 19x – 8(x – 3) = 66 – 3x;

в) 0,2(0,7x – 5) + 0,02 = 1,4(x – 1,6);

г) 2,7(0,1x + 3,2) + 0,6(1,3 – x) = 16,02.

a) $3(5x-4)-8x=4x+9$

$$\begin{gathered} 15x-12-8x=4x+9 \\ 7x-4x=9+12 \\ 3x=21 \\ x=7 \end{gathered}$$

Ответ: 7

б) $19x-8(x-3)=66-3x$

$$\begin{gathered} 19x-8x+21=66-3x \\ 11x+3x=66-24 \\ 14x=42 \\ x=3 \end{gathered}$$

Ответ: 3

в) $0,2(0,7x-5)+0,02=1,4(x-1,6)$

$$\begin{gathered} 0,14x-1+0,02=1,4x-2,24 \\ 0,14x-1,4x=-2,24+1-0,02 \\ -1,26x=-1,26 \\ x=1 \end{gathered}$$

Ответ: 1

г) $2,7(0,1x+3,2)+0,6(1,3-x)=16,02$

$$\begin{gathered} 0,27x+8,64+0,78-0,6x=16,02 \\ -0,33x=16,02-8,64-0,78 \\ -0,33x=6,6 \\ x=6,6:(-0,33) \\ x=-20 \end{gathered}$$

Ответ: -20

а) $3(5x - 4) - 8x = 4x + 9$

Для начала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 3 на каждый член в скобках:

$3 \cdot 5x - 3 \cdot 4 - 8x = 4x + 9$

$15x - 12 - 8x = 4x + 9$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(15x - 8x) - 12 = 4x + 9$

$7x - 12 = 4x + 9$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые (числа) — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный:

$7x - 4x = 9 + 12$

Выполним вычисления в обеих частях:

$3x = 21$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{21}{3}$

$x = 7$

Ответ: $7$.

б) $19x - 8(x - 3) = 66 - 3x$

Раскроем скобки в левой части, обращая внимание на знак минус перед восьмеркой:

$19x - 8 \cdot x - 8 \cdot (-3) = 66 - 3x$

$19x - 8x + 24 = 66 - 3x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$11x + 24 = 66 - 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$11x + 3x = 66 - 24$

Упростим обе части уравнения:

$14x = 42$

Найдем $x$, разделив обе части на 14:

$x = \frac{42}{14}$

$x = 3$

Ответ: $3$.

в) $0,2(0,7x - 5) + 0,02 = 1,4(x - 1,6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0,2 \cdot 0,7x - 0,2 \cdot 5 + 0,02 = 1,4 \cdot x - 1,4 \cdot 1,6$

$0,14x - 1 + 0,02 = 1,4x - 2,24$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$0,14x - 0,98 = 1,4x - 2,24$

Соберем слагаемые с $x$ в одной части, а числа — в другой. Чтобы избежать отрицательного коэффициента при $x$, перенесем $0,14x$ вправо, а $-2,24$ влево:

$2,24 - 0,98 = 1,4x - 0,14x$

Выполним вычисления:

$1,26 = 1,26x$

Разделим обе части на 1,26, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1,26}{1,26}$

$x = 1$

Ответ: $1$.

г) $2,7(0,1x + 3,2) + 0,6(1,3 - x) = 16,02$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2,7 \cdot 0,1x + 2,7 \cdot 3,2 + 0,6 \cdot 1,3 + 0,6 \cdot (-x) = 16,02$

$0,27x + 8,64 + 0,78 - 0,6x = 16,02$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:

$(0,27x - 0,6x) + (8,64 + 0,78) = 16,02$

$-0,33x + 9,42 = 16,02$

Перенесем число 9,42 в правую часть уравнения:

$-0,33x = 16,02 - 9,42$

Выполним вычитание в правой части:

$-0,33x = 6,6$

Найдем $x$, разделив обе части на -0,33:

$x = \frac{6,6}{-0,33}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{660}{-33}$

$x = -20$

Ответ: $-20$.