Номер 71, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 71, страница 22.

71. При каких целых значениях m дробь (m - 1)(m + 1) - 10m принимает целые значения?

$$\begin{gathered} \frac{(m-1)(m+1)-10}{m}=\frac{m^2-1-10}{m}= \\ =\frac{m^2-11}{m}=\frac{m^2}{m}-\frac{11}{m}=m-\frac{11}{m} \end{gathered}$$

при m=-1; $\frac{{(-1)}^2-11}{-1}=\frac{1-11}{-1}=\frac{-10}{-1}=10$

m=1; $\frac{1^2-11}{1}=\frac{1-11}{1}=-10$

m=11; $\frac{{11}^2-11}{11}=\frac{121-11}{11}=\frac{110}{11}=10$

m=-11; $\frac{{(-11)}^2-11}{-11}=\frac{121-11}{-11}=\frac{110}{-11}=-10$

Ответ: при m=-1; 1; -11; 11

Для того чтобы данная дробь принимала целые значения, необходимо найти все целые значения m, при которых выражение будет целым числом.

Исходная дробь:
$ \frac{(m-1)(m+1)-10}{m} $

Сначала упростим числитель дроби. Выражение $ (m-1)(m+1) $ является формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Применим ее:
$ (m-1)(m+1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1 $

Теперь подставим полученный результат обратно в числитель дроби:
$ \frac{(m^2 - 1) - 10}{m} = \frac{m^2 - 11}{m} $

Чтобы проанализировать, при каких целых m это выражение является целым, разделим его почленно на m:
$ \frac{m^2}{m} - \frac{11}{m} = m - \frac{11}{m} $

По условию задачи, m — целое число. Значит, первое слагаемое m всегда целое. Чтобы вся разность $ m - \frac{11}{m} $ была целым числом, необходимо, чтобы и второе слагаемое, $ \frac{11}{m} $, также было целым числом.

Дробь $ \frac{11}{m} $ принимает целые значения только тогда, когда ее знаменатель m является делителем числителя 11.

Найдем все целые делители числа 11. Поскольку 11 — простое число, его делителями являются:
1, -1, 11, -11.

Следовательно, m может принимать одно из этих четырех значений.

Ответ: -11, -1, 1, 11.