Номер 76, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 76, страница 25.

76. Выполните действие:

a) 5y - 36y + y + 24y;

б) 3x+535x + x - 321x;

в) b+215b - 3c - 545c;

г) 8b+y40b - 6y + b30y.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5y-3}{6y}+\frac{y+2}{4y}=\frac{2(5y-3)}{12y}+\frac{3(y+2)}{12y}= \\ =\frac{10y-6+3y+6}{12y}=\frac{13y}{12y}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3n+5}{35x}+\frac{x-3}{21x}=\frac{3(3x+5)}{105x}+\frac{5(x-3)}{105x}= \\ =\frac{9x+15+5x-15}{105x}=\frac{14x}{105x}=\frac{2x}{15x}=\frac{2}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{b+2}{15b}-\frac{3c-5}{45c}=\frac{3c(b+2)}{45bc}-\frac{b(3c-5)}{45bc}= \\ =\frac{3bc+6c-3bc+5b}{45bc}=\frac{6c+5b}{45bc} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{8b+y}{40b}-\frac{6y+b}{30y}=\frac{3y(8b+y)}{120by}-\frac{4b(6y+b)}{120by}= \\ =\frac{24by+3y^2-24by-4b^2}{120by}=\frac{3y^2-4b^2}{120by} \end{gathered}$$

а) $\frac{5y-3}{6y} + \frac{y+2}{4y}$

Чтобы выполнить сложение алгебраических дробей, их нужно привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $6y$ и $4y$.

1. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для коэффициентов 6 и 4. НОК(6, 4) = 12.

2. Общая переменная часть — $y$.

Таким образом, наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $12y$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен $\frac{12y}{6y} = 2$. Для второй дроби — $\frac{12y}{4y} = 3$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{5y-3}{6y} + \frac{y+2}{4y} = \frac{2 \cdot (5y-3)}{12y} + \frac{3 \cdot (y+2)}{12y}$

Раскроем скобки в числителях:

$\frac{10y-6}{12y} + \frac{3y+6}{12y}$

Теперь, когда дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{(10y-6) + (3y+6)}{12y} = \frac{10y - 6 + 3y + 6}{12y}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{13y}{12y}$

Сократим дробь на $y$ (при условии, что $y \neq 0$):

$\frac{13}{12}$

Ответ: $\frac{13}{12}$

б) $\frac{3x+5}{35x} + \frac{x-3}{21x}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели — $35x$ и $21x$.

1. Найдем НОК для коэффициентов 35 и 21. Разложим их на простые множители: $35 = 5 \cdot 7$, $21 = 3 \cdot 7$. НОК(35, 21) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

2. Общая переменная часть — $x$.

НОЗ равен $105x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{105x}{35x} = 3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{105x}{21x} = 5$.

$\frac{3 \cdot (3x+5)}{105x} + \frac{5 \cdot (x-3)}{105x} = \frac{9x+15}{105x} + \frac{5x-15}{105x}$

Сложим числители:

$\frac{(9x+15) + (5x-15)}{105x} = \frac{9x+15+5x-15}{105x}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{14x}{105x}$

Сократим дробь на $x$ (при $x \neq 0$) и на общий делитель 7 для 14 и 105:

$\frac{14}{105} = \frac{14 \div 7}{105 \div 7} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$

в) $\frac{b+2}{15b} - \frac{3c-5}{45c}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели — $15b$ и $45c$.

1. НОК для коэффициентов 15 и 45 равен 45.

2. Переменные части — $b$ и $c$. Они различны, поэтому в НОЗ войдут обе переменные.

НОЗ равен $45bc$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{45bc}{15b} = 3c$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{45bc}{45c} = b$.

$\frac{3c \cdot (b+2)}{45bc} - \frac{b \cdot (3c-5)}{45bc} = \frac{3bc+6c}{45bc} - \frac{3bc-5b}{45bc}$

Вычтем числители, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:

$\frac{(3bc+6c) - (3bc-5b)}{45bc} = \frac{3bc+6c-3bc+5b}{45bc}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{5b+6c}{45bc}$

Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $\frac{5b+6c}{45bc}$

г) $\frac{8b+y}{40b} - \frac{6y+b}{30y}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели — $40b$ и $30y$.

1. НОК для коэффициентов 40 и 30. $40 = 4 \cdot 10$, $30 = 3 \cdot 10$. НОК(40, 30) = $3 \cdot 4 \cdot 10 = 120$.

2. Переменные части — $b$ и $y$.

НОЗ равен $120by$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{120by}{40b} = 3y$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{120by}{30y} = 4b$.

$\frac{3y \cdot (8b+y)}{120by} - \frac{4b \cdot (6y+b)}{120by} = \frac{24by+3y^2}{120by} - \frac{24by+4b^2}{120by}$

Вычтем числители:

$\frac{(24by+3y^2) - (24by+4b^2)}{120by} = \frac{24by+3y^2-24by-4b^2}{120by}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3y^2-4b^2}{120by}$

Данную дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{3y^2-4b^2}{120by}$