Номер 77, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 77, страница 25.

77. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 15a - b12a - a - 4b9a;

б) 7x + 48y - 3x - 16y.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{15a-b}{12a}-\frac{a-4b}{9a}=\frac{3(15a-b)}{36a}-\frac{4(a-4b)}{36a}= \\ =\frac{45a-3b-4a+16b}{36a}=\frac{41a+13b}{36a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{7x+4}{8y}-\frac{3x-1}{6y}=\frac{3(7x+4)-4(3x-1)}{24y}= \\ =\frac{21x+12-12x+4}{24y}=\frac{9x+16}{24y} \end{gathered}$$

а) Чтобы преобразовать выражение $\frac{15a-b}{12a}-\frac{a-4b}{9a}$ в дробь, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $12a$ и $9a$. Наименьший общий знаменатель для них — это наименьшее общее кратное (НОК) выражений $12a$ и $9a$. НОК для числовых коэффициентов 12 и 9 равно 36, поэтому общий знаменатель будет $36a$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив общий знаменатель на знаменатель каждой дроби. Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{36a}{12a}=3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{36a}{9a}=4$. Теперь умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель: $\frac{3 \cdot (15a-b)}{36a} - \frac{4 \cdot (a-4b)}{36a} = \frac{45a-3b}{36a} - \frac{4a-16b}{36a}$. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычтем из числителя первой дроби числитель второй, оставив знаменатель без изменений. Важно помнить, что знак "минус" перед второй дробью относится ко всему ее числителю, поэтому его нужно взять в скобки: $\frac{(45a-3b) - (4a-16b)}{36a}$. Раскроем скобки в числителе. Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее: $\frac{45a-3b-4a+16b}{36a}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $(45a-4a) + (-3b+16b) = 41a + 13b$. Таким образом, итоговое выражение имеет вид: $\frac{41a+13b}{36a}$.
Ответ: $\frac{41a+13b}{36a}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{7x+4}{8y}-\frac{3x-1}{6y}$. Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $8y$ и $6y$. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 8 и 6 равно 24. Следовательно, общий знаменатель равен $24y$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{24y}{8y}=3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{24y}{6y}=4$. Умножим числители на их дополнительные множители: $\frac{3 \cdot (7x+4)}{24y} - \frac{4 \cdot (3x-1)}{24y} = \frac{21x+12}{24y} - \frac{12x-4}{24y}$. Выполним вычитание числителей, записав их под общим знаменателем: $\frac{(21x+12) - (12x-4)}{24y}$. Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак "минус": $\frac{21x+12-12x+4}{24y}$. Приведем подобные слагаемые в числителе: $(21x-12x) + (12+4) = 9x+16$. В результате получаем дробь: $\frac{9x+16}{24y}$.
Ответ: $\frac{9x+16}{24y}$