Номер 74, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 74, страница 23.

74. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

a) 3a2a + 25;

б) 2y9 + y²;

в) 5x3x(x + 12);

г) 7a(a + 1)(a - 4).

a) $\frac{3a}{2a+25}$

$$\begin{gathered} 2a+25\ne 0 \\ 2a\ne -25 \\ a\ne -\frac{25}{2} \\ a\ne -12,5 \end{gathered}$$

Все числа, кроме a=-12,5

б) $\frac{2y}{9+y^2}$

$$\begin{gathered} y^2+9\ne 0 \\ {y}^2\ne -9 \end{gathered}$$

Все числа

в) $\frac{5x}{3x(x+12)}$

$$\begin{gathered} x(x+12)\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x+12\ne 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -12\end{array}\right. \end{gathered}$$

Все числа, кроме -12 и 0

г) $\frac{7a}{(a+1)(a-4)}$

$$\begin{gathered} (a+1)(a-4)\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{l}a+1\ne 0\\ a-4\ne 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}a\ne -1\\ a\ne 4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Все числа, кроме -1 и 4

а) Допустимые значения переменной в выражении — это все значения, при которых выражение имеет смысл. Для алгебраической дроби это означает, что ее знаменатель не должен быть равен нулю. В данном выражении $\frac{3a}{2a + 25}$ знаменатель равен $2a + 25$. Найдем значение переменной $a$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его.
$2a + 25 = 0$
$2a = -25$
$a = -\frac{25}{2}$
$a = -12.5$
Таким образом, допустимыми значениями для переменной $a$ являются все числа, кроме $-12.5$.
Ответ: все числа, кроме $a = -12.5$.

б) В выражении $\frac{2y}{9 + y^2}$ знаменатель равен $9 + y^2$. Найдем значения переменной $y$, при которых знаменатель обращается в ноль.
$9 + y^2 = 0$
$y^2 = -9$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа ($y^2$) всегда неотрицателен ($y^2 \ge 0$), а значит, сумма $9 + y^2$ всегда будет положительной ($9 + y^2 \ge 9$). Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль.
Таким образом, допустимыми значениями для переменной $y$ являются все действительные числа.
Ответ: все числа.

в) В выражении $\frac{5x}{3x(x + 12)}$ знаменатель равен $3x(x + 12)$. Найдем значения переменной $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$3x = 0$ или $x + 12 = 0$
Из первого уравнения получаем $x = 0$.
Из второго уравнения получаем $x = -12$.
Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $x = 0$ и $x = -12$. Эти значения необходимо исключить.
Таким образом, допустимыми значениями для переменной $x$ являются все числа, кроме $0$ и $-12$.
Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = -12$.

г) В выражении $\frac{7a}{(a + 1)(a - 4)}$ знаменатель равен $(a + 1)(a - 4)$. Найдем значения переменной $a$, при которых знаменатель обращается в ноль. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$a + 1 = 0$ или $a - 4 = 0$
Из первого уравнения получаем $a = -1$.
Из второго уравнения получаем $a = 4$.
Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $a = -1$ и $a = 4$. Эти значения необходимо исключить.
Таким образом, допустимыми значениями для переменной $a$ являются все числа, кроме $-1$ и $4$.
Ответ: все числа, кроме $a = -1$ и $a = 4$.