Номер 70, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 70, страница 22.

70. Представьте дробь 5n² + 3n + 6n; в виде суммы двучлена и дроби.

Выясните, при каких натуральных n данная дробь принимает натуральные значения.

$\frac{5n^2+3n+6}{n}=\frac{5n^2}{n}+\frac{3n}{n}+\frac{6}{n}=5n+3+\frac{6}{n}$

при

n=1;	$5·1+3+\frac{6}{1}=8+6=14$
n=2;	$5·2+3+\frac{6}{2}=13+3=16$
n=3;	$5·3+3+\frac{6}{3}=18+2=20$
n=6;	$5·6+3+\frac{6}{6}=33+1=34$

Ответ: при n=1; 2; 3; 6

Представьте дробь $\frac{5n^2+3n+6}{n}$ в виде суммы двучлена и дроби.

Чтобы представить данную дробь в виде суммы, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Это можно сделать почленно, разделив каждый член числителя на $n$:

$\frac{5n^2+3n+6}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{3n}{n} + \frac{6}{n}$

Теперь упростим каждое слагаемое, сократив дроби:

$5n + 3 + \frac{6}{n}$

Полученное выражение является суммой двучлена $(5n+3)$ и дроби $\frac{6}{n}$.

Ответ: $5n+3+\frac{6}{n}$.

Выясните, при каких натуральных $n$ данная дробь принимает натуральные значения.

Мы представили исходную дробь в виде выражения $5n+3+\frac{6}{n}$. По условию задачи, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Рассмотрим выражение $5n+3+\frac{6}{n}$. Слагаемое $(5n+3)$ при любом натуральном $n$ будет натуральным числом, так как произведение и сумма натуральных чисел всегда дают натуральное число.

Чтобы вся сумма была натуральным числом, необходимо, чтобы и последнее слагаемое, $\frac{6}{n}$, было целым числом. Поскольку $n$ — число натуральное (а значит, положительное), то и дробь $\frac{6}{n}$ должна быть натуральным числом.

Дробь $\frac{6}{n}$ будет принимать натуральные значения только в том случае, если ее знаменатель $n$ является натуральным делителем ее числителя 6.

Натуральными делителями числа 6 являются числа: 1, 2, 3 и 6.

Следовательно, исходная дробь принимает натуральные значения только при $n$, равном одному из этих чисел.

Ответ: при $n \in \{1, 2, 3, 6\}$.