Номер 66, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 66, страница 22.

66. Выполните действие:

a) x²(x - 5)² - 25(5 - x)²

б) x² + 25(x - 5)³ + 10x(5 - x)³

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2}{{(x-5)}^2}-\frac{25}{{(5-x)}^2}=\frac{x^2-25}{{(x-5)}^2}= \\ =\frac{(x-5)(n+5)}{{(x-5)}^2}=\frac{x+5}{x-5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{x^2+25}{{(x-5)}^3}+\frac{10x}{{(5-x)}^3}=\frac{x^2+25}{{(x-5)}^3}-\frac{10x}{{(x-5)}^3}= \\ =\frac{x^2+25-10x}{{(x-5)}^3}=\frac{{(x-5)}^2}{{(x-5)}^3}=\frac{1}{x-5} \end{gathered}$$

а) $ \frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2} $

Для выполнения вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Обратим внимание на знаменатели $ (x-5)^2 $ и $ (5-x)^2 $.

Используем свойство квадрата разности: $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $. Для наших знаменателей это означает, что $ (5-x)^2 = (x-5)^2 $.

Таким образом, знаменатели дробей равны. Заменим $ (5-x)^2 $ на $ (x-5)^2 $ в исходном выражении и выполним вычитание:

$ \frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(x-5)^2} = \frac{x^2 - 25}{(x-5)^2} $

Числитель полученной дроби $ x^2 - 25 $ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ x^2 - 25 = (x-5)(x+5) $

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} $

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $ (x-5) $, при условии, что $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $:

$ \frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} = \frac{x+5}{x-5} $

Ответ: $ \frac{x+5}{x-5} $

б) $ \frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3} $

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Рассмотрим знаменатели $ (x-5)^3 $ и $ (5-x)^3 $.

Используем свойство нечетной степени: $ (b-a)^3 = (-(a-b))^3 = (-1)^3(a-b)^3 = -(a-b)^3 $. Таким образом, $ (5-x)^3 = -(x-5)^3 $.

Заменим $ (5-x)^3 $ на $ -(x-5)^3 $ во второй дроби. Это изменит знак перед дробью на противоположный:

$ \frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{-(x-5)^3} = \frac{x^2+25}{(x-5)^3} - \frac{10x}{(x-5)^3} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можем выполнить вычитание числителей:

$ \frac{x^2+25-10x}{(x-5)^3} = \frac{x^2-10x+25}{(x-5)^3} $

Числитель $ x^2-10x+25 $ является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $:

$ x^2-10x+25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2 $

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

$ \frac{(x-5)^2}{(x-5)^3} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x-5)^2 $, при условии, что $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $:

$ \frac{(x-5)^2}{(x-5)^3} = \frac{1}{x-5} $

Ответ: $ \frac{1}{x-5} $