Номер 67, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 67, страница 22.

67. Преобразуйте в дробь выражение:

a) x²x² - 16 8(x - 2)x² - 16

б) 64 - 2ab(a - 8)² 2ab - a²(8 - a)²

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2}{x^2-16}-\frac{8(x-2)}{x^2-16}=\frac{x^2-8(x-2)}{x^2-16}= \\ =\frac{x^2-8x+16}{(x-4)(x+4)}=\frac{{(x-4)}^2}{(x-4)(x+4)}=\frac{x-4}{x+4} \end{gathered}$$

б) $\frac{64-2ab}{{(a-8)}^2}+\frac{2ab-a^2}{{(8-a)}^2}=\frac{64-2ab}{{(a-8)}^2}+\frac{2ab-a^2}{{(a-8)}^2}=$
$$\begin{gathered} =\frac{64-2ab+2ab-a^2}{{(a-8)}^2}=\frac{64-a^2}{{(a-8)}^2}= \\ =\frac{(8-a)(8+a)}{{(a-8)}^2}=\frac{(8-a)(8+a)}{{(8-a)}^2}=\frac{8+a}{8-a} \end{gathered}$$

а) $\frac{x^2}{x^2 - 16} - \frac{8(x - 2)}{x^2 - 16}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем объединить их, выполнив вычитание числителей:

$\frac{x^2 - 8(x - 2)}{x^2 - 16}$

Раскроем скобки в числителе, умножив $-8$ на каждое слагаемое в скобках:

$\frac{x^2 - 8x + 16}{x^2 - 16}$

Теперь необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Числитель является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а знаменатель — разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Числитель: $x^2 - 8x + 16 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x-4)^2$.

Знаменатель: $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-4)$:

$\frac{x-4}{x+4}$

Ответ: $\frac{x-4}{x+4}$

б) $\frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} + \frac{2ab - a^2}{(8 - a)^2}$

Для сложения дробей нужно привести их к общему знаменателю. Обратим внимание, что $(8 - a)^2 = (-(a - 8))^2 = (-1)^2 \cdot (a - 8)^2 = (a - 8)^2$. Это означает, что знаменатели у дробей уже одинаковы.

Перепишем выражение с одинаковыми знаменателями:

$\frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} + \frac{2ab - a^2}{(a - 8)^2}$

Теперь сложим числители:

$\frac{64 - 2ab + 2ab - a^2}{(a - 8)^2}$

Упростим числитель, взаимно уничтожив слагаемые $-2ab$ и $2ab$:

$\frac{64 - a^2}{(a - 8)^2}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$64 - a^2 = 8^2 - a^2 = (8 - a)(8 + a)$.

Подставим разложенный числитель в дробь:

$\frac{(8 - a)(8 + a)}{(a - 8)^2}$

Заметим, что $8 - a = -(a - 8)$. Перепишем выражение:

$\frac{-(a - 8)(a + 8)}{(a - 8)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - 8)$:

$\frac{-(a + 8)}{a - 8}$

Чтобы избавиться от знака "минус" перед числителем, можно внести его в знаменатель, поменяв знаки у слагаемых:

$\frac{a + 8}{-(a - 8)} = \frac{a + 8}{8 - a}$

Ответ: $\frac{a + 8}{8 - a}$